Абстрактная алгебра

[vk100]

Здравствуйте!У меня такой вопрос: если группа имеет нечетный порядок, то любой элемент этой группы является квадратом. Я строила доказательство от противного, то есть если группа имеет четный порядок, то найдется элемент который будет квадратом. следовательно группа разбивается на пара взаимно-обратных элементов. правильно ли я рассуждаю, и если да, то как дальше развить мысль?Помогите пожалуйста

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Sonic86]

vk100 в сообщении #790459 писал(а):

У меня такой вопрос: если группа имеет нечетный порядок, то любой элемент этой группы является квадратом.

По-моему, проще использовать тот факт, что $(\forall a\in G)a^{|G|}=e$, скомбинировать его с условиями задачи и все.

[vk100]

$a^{2n+1}=e$ тогда $a^3=e$ и где тут квадрат

[Sonic86]

vk100 в сообщении #790469 писал(а):

$a^{2n+1}=e$ тогда $a^3=e$

Думаю, это следует читать так: "$a^{2n+1}=e$, например $a^3=e$", в противном случае утверждение ложно.

vk100 в сообщении #790469 писал(а):

$a^3=e$ и где тут квадрат

Ну вот давайте на этом примере: мы знаем, что $a^3=e$, а нам надо доказать, что существует $b$ такое, что $a=b^2$. Чему бы могло быть равно $b$, как Вы думаете?

[mihailm]

vk100 в сообщении #790469 писал(а):

$a^{2n+1}=e$ тогда $a^3=e$ и где тут квадрат

И я тоже не вижу тут квадрата, может утверждение неверно?

[vk100]

Спасибо большое

[provincialka]

vk100 рассуждайте дальше. Если $a^3=e$, то чему равно $a^4$?

-- 19.11.2013, 21:52 --

vk100 в сообщении #790459 писал(а):

если группа имеет нечетный порядок, то любой элемент этой группы является квадратом. Я строила доказательство от противного, то есть если группа имеет четный порядок ...

Где же тут "от противного"? От противного может начинаться так: "пусть какой-то элемент группы не является квадратом".

[VAL]

provincialka в сообщении #790494 писал(а):

vk100 в сообщении #790459 писал(а):

если группа имеет нечетный порядок, то любой элемент этой группы является квадратом. Я строила доказательство от противного, то есть если группа имеет четный порядок ...

Где же тут "от противного"?

Самое, что ни на есть классическое "школьно-студенческое от противного"! Берите на вооружение. Вот квинтэссенция метода:

Пусть нам надо доказать утверждение "$A$ влечет $B$".
Пусть $A$ не выполняется. Но нам дано, что оно выполняется. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
Самое интересное, что от $B$ тут вообще ничего не зависит.

[svv]

VAL, надо этот метод запатентовать. Пользуясь им, можно доказать такое, что до сих пор никому не под силу было. Такие возможности открываются!

[VAL]

svv в сообщении #790889 писал(а):

VAL, надо этот метод запатентовать. Пользуясь им, можно доказать такое, что до сих пор никому не под силу было. Такие возможности открываются!

Вам понравилось? Мне тоже.
Но должен признаться честно (в принципе уже признался) - автор не я. Я только убрал словесную шелуху и оставил суть.

Кстати, есть еще более простой и мощный метод (автор тот же - народ).
Допустим нам надо доказать утверждение $A$.
Допустим, что оно верно. Что и требовалось доказать.

Антиоффтопик:
Что-то ТС (как это нередко случается) куда-то исчез.
Похоже, убедился, что если $a^3=e$, то $a$ - не квадрат.
To TC: Это не так. Попробуйте найти квадрат элемента $a^2$.

[provincialka]

mihailm в сообщении #790473 писал(а):

И я тоже не вижу тут квадрата, может утверждение неверно?

А вот осторожнее надо с авторами, у которых нет чувства юмора.