Численное решение уравнения в частных производных

[.:Артём:.]

Приветствую, All!

Не получается найти материал описывающий как численно решить следующую задачу:

\[ \begin{gathered} \frac{{\partial u}} {{\partial t}} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} + u^2 (1 - u)\,, \hfill \\ u(0,t) = \varphi _1 (t),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \\ u(1,t) = \varphi _2 (t), \hfill \\ u(x,0) = \psi (x); \hfill \\ \end{gathered} \]

Во всех книгах, которые мне встречались, рассматривается уравнение вида:

\[ \frac{{\partial u}} {{\partial t}} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} + f(x,t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \]

Не подскажите, где можно прочитать, как численно решить уравнение (1)?

[.:Артём:.]

Проблема решена.

Решение:
Применялась явная конечно-разностная схема.
Пусть

\[ \tau \]

приражение по времени, а

\[ h \]

по координате

\[ x \]

.
Заменяем производные их приращениями:

\[ \begin{gathered} \frac{{\partial u}} {{\partial t}} = \frac{{u_i^{j + 1} - u_i^j }} {\tau } \hfill \\ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{{u_{i - 1}^j - 2 \cdot u_i^j + u_{i + 1}^j }} {{h^2 }} \hfill \\ \end{gathered} \]

Тогда исходная задача (1) перепишется в виде:

\[ \begin{gathered} \frac{{u_i^{j + 1} - u_i^j }} {\tau } = \frac{{u_{i - 1}^j - 2 \cdot u_i^j + u_{i + 1}^j }} {{h^2 }}\, + \left( {u_i^{j + 1} } \right)^2 (1 - u_i^{j + 1} ) \hfill \\ u_0^j = \varphi _1 (j \cdot \tau ) \hfill \\ u_N^j = \varphi _2 (j \cdot \tau ) \hfill \\ u_i^0 = \psi (i \cdot h) \hfill \\ i = \overline {1,N - 1} \hfill \\ j = \overline {0,M - 1} \hfill \\ \end{gathered} \]

Или:

\[ \begin{gathered} \left( {u_i^{j + 1} } \right)^3 - \left( {u_i^{j + 1} } \right)^2 + \frac{1} {\tau }u_i^{j + 1} = \left( {\frac{1} {\tau } - \frac{2} {{h^2 }}} \right) \cdot u_i^j + \frac{{u_{i - 1}^j + u_{i + 1}^j }} {{h^2 }} \hfill \\ u_0^j = \varphi _1 (j \cdot \tau ) \hfill \\ u_N^j = \varphi _2 (j \cdot \tau ) \hfill \\ u_i^0 = \psi (i \cdot h) \hfill \\ i = \overline {1,N - 1} \hfill \\ j = \overline {0,M - 1} \hfill \\ \end{gathered} \]

Таким образом на каждой итерации необходимо численно решить уравнение 3-ей степени, например, методом Ньютона.