решить реккурентное уравнение с параметрами

[Njuta]

Вторую неделю маюсь, не знаю, как решить реккурентное уравнение с параметрами...
$x_i= s*((i/N)*x_{i-1} + ((N-i)/N)*x_{i+1})$ где s,N - параметры (s>=1, N>0), а i=0,1..N. Граничные условия:
1) $x_0 = s*x_1$
2) $x_N = s*x_{N-1}$

[незваный гость]

1) Если Вы ищете $x_i$, то Ваша задача сводиться к трехдиагональной матрице вида:
$\left( \begin{array}{cccccc} -s^{-1} & \frac{N}{N} & & & & 0 \\ \frac{1}{N} & -s^{-1} & \frac{N-1}{N} & & \\ & \frac{2}{N} & -s^{-1} & \frac{N-2}{N} & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & \frac{N-1}{N} & -s^{-1} & \frac{1}{N} \\ 0 & & & & \frac{N}{N} & -s^{-1} \\ \end{array} \right)$

2) Очевидно, что эта матрица обратима, коль скоро $s^{-1}$ не равен одному из собственных чисел матрицы
$\left( \begin{array}{cccccc} 0 & \frac{N}{N} & & & & 0 \\ \frac{1}{N} & 0 & \frac{N-1}{N} & & \\ & \frac{2}{N} & 0 & \frac{N-2}{N} & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & \frac{N-1}{N} & 0 & \frac{1}{N} \\ 0 & & & & \frac{N}{N} & 0 \\ \end{array} \right)$
Это означает, что кроме как в случае помянутом выше, единственным решением является $x_i = 0$. В случае-же собственного числа ответ - соответствующий собственный вектор.

3) Известны простые достаточные критерии невырожденности матрицы (1). По-моему (пишу по памяти, проверьте пожалуйста), достаточным критерием невырожденности будет мажорирование главной диагональю $|(-s^{-1})| > |\frac{i}{N}| + |\frac{N-i}{N}|$, то есть $|s| < 1$.

4) Смею думать, что в Вашем случае собственные числа равны $\frac{2 k}{N}-1$, где $k$ пробегает целые значения от $0$ до $N$ (без доказательства).

[Njuta]

В попытках найти собственные векторы этой матрицы и появилось данное реккурентное уравнение...

[Гость]

А вам что, явное решение нужно, что ли?
Неявное просто - берете произвольный х0, и начинаете считать. Если s^-1 - собственное число, то последнее уравнение выполниться автоматически.

[Njuta]

В том то и проблема, что хотелось бы в явном виде найти собственные векторы этой матрицы через s, N, n и i. Может можно решить как разностное уравнение, подобно тому как находятся числа Фиббоначи?

[незваный гость]

Эк Вы, право, всех запутали. Так надежно замаскировать вопрос! Можно подумать, но может, Гость прав - начать, скажем, с $N!$, дабы было все целым, и считать себе до конца:
    $x_0=N!$;
    $x_1=(2 k - N)(N-1)!$;
    $x_{i+1}=\frac{1}{N-i}((2k-N)x_i-i x_{i-1})$.

Можно упрощати - например, $y_i={(N-i)!}{i!}x_i$. Имеем тогда:
    $y_0=1$;
    $y_1=(2 k - N)$;
    $y_{i+1}=\frac{1}{(N-i-1)!{(i+1)!}}\frac{1}{N-i}((2k-N)(N-i)!i!y_i-i (N-i+1)!(i-1)!y_{i-1}) = $ $\frac{2k-N}{i+1}y_i - \frac{N-i+1}{i+1}y_{i-1}$.
Выражения сии зело на размышления о биномиальных коэффициентах наводят.