Матрично-векторная алгебра

[Denis_Psh]

Доброго времени суток!
Подскажите, пожалуйста: пусть имеется некоторая квадратная симметрическая матрица $S$ и некоторое действительное число $C$; возможно ли как-нибудь найти семейство всех возможных векторов $\bar{x}$, удовлетворяющих соотношению $\bar{x}^{T} S \bar{x} = C$?
Спасибо!

[Xaositect]

Да, это квадрика $\{x| x^T S x - C = 0\}$. Как-то более удобно записать решение вряд ли получится (куда уж удобнее - одно квадратное уравнение на $x$). В чем у Вас конечная цель?

[Denis_Psh]

Вообще в целом задача у меня такая: есть симметрическая матрица $A(n +1, n + 1)$, у которой диагональные элементы равны единице, а все остальные по модулю меньше единицы. Причём у этой матрицы все главные миноры кроме последнего положительны, а последний отрицателен. Я хочу поправить последнюю строку и столбец этой матрицы так, чтобы и $n + 1$-й главный минор оказался положительным, т.е. сама матрица стала положительно определённой, а суммарное отклонение полученных элементов последней строки и столбца от исходных оказалось минимальным.
Можно представить значение этого минора как функцию от элементов последней строки и столбца, т.е. $n$-мерного вектора $\bar{x}$. Я нашёл эту зависимость: $\det A_{n + 1} (\bar{x}) = \det A_n \cdot (1 - \bar{x}^T A(n, n)^{-1} \bar{x})$. Здесь $A(n, n)$ - матрица, состоящая из первых $n$ строк и $n$ столбцов матрицы $A$. Я хочу, чтобы $\det A_{n + 1}$ было больше нуля и равнялось некоторому заданному числу. Получаю уравнение относительно вектора $\bar{x}$, которое как раз и сводится к тому описанному в первом сообщении.

[Xaositect]

То есть, во-первых, у Вас $S$ положительно определенная, а во-вторых, Вам нужно не просто решение, а минимальное по какой-нибудь норме.

В этом случае можно действовать так: на прямой $x = \lambda a$ у нас будет $x^TSx = (a^T Sa) \lambda^2$ и будет два решения $\lambda = \pm \frac{C}{a^T Sa}$. Если брать $a$ равные по норме 1, то $\lambda$ будет нормой решений $x^TS x$ на прямой $x = \lambda a$. Поэтому нужно найти, когда $a^T S a$ будет максимальным при $||a||= 1$. Если рассматривается евклидова норма, то это будет, если я не ошибаюсь, направление собственного вектора, отвечающего максимальному собственному значению $S$ (проверьте)

[Denis_Psh]

Понял, буду копать в этом направлении, спасибо за идею!