Много ли целых квадратов в треугольнике Паскаля?

[Andrey A]

С первыми двумя "горками" все ясно (первая горка - ...1,1,1,..., вторая - ...5,4,3,2,3,4,5,...). Третья соответствует уравнению $t_x=y^2$, решения которого следуют из разложения $\sqrt{2}$ и хорошо описаны. В четвертой тоже есть решение: $\frac{50!}{3!47!}=140^2$. А больше не знаю. Что об этом известно?

[Xaositect]

Беглым поиском нашел обсуждение http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=214772 ,там ссылаются на статьи Эрдеша и его коллег.

Я порылся по ссылкам, нашел статью Эрдеша http://www.renyi.hu/~p_erdos/1951-05.pdf , где доказывается, что при $k > 3$ и $n\geqslant 2k$ биномиальный коэффициент $n\choose k$ не может быть степенью целого числа, и утверждается, что при $k=3$ есть только отно решение $n = 50$, которое Вы тоже нашли. Этот факт утверждается как хорошо известный, с пометкой "Я не смог найти ссылку". Ссылки есть в L. E. Dickson "History of the Theory of Numbers", на статьи 1870-х годов на французском.

[Andrey A]

Очень интересно, жаль что по-английски. Впрочем главное Вы перевели, спасибо большое.