Сравнить

[PoorFellow Tom]

Собственно $2^{n+1}\sin(1/3)$ и $2^{2n}\sin(1/3^{n})$ , как их сравнивать?

[gris]

Делить одно на другое и сравнивать с единицей.

[provincialka]

1. Предположить, что больше.
2. Записать неравенства, оценки для синуса снизу и сверху.

Для (1) можете использовать эквивалентность для синуса. Да, и сократите на $2^n$.

-- 17.11.2013, 11:13 --

Если это школьное задание, можно по индукции. Посмотреть, как ведет себя выражение с ростом $n$.

[PoorFellow Tom]

Необходимость их сравнить возникла при отрицании критерия коши , где мне нужно выбрать некое слагаемое , чтобы вынести , то есть наименьшее, при делении одного на другое будет $2\sin(1/3)/2^{n}\sin(1/3^{n})$ , использование эквивалентности ничего же не дает , там при делении одного на другое 1 будет же

[gris]

Ну как же один получится? Для синуса можно применить эквивалентность и выходит геометрическая прогрессия (с коэффициентом). А у неё выбор невелик для стремления.

[PoorFellow Tom]

Ведь получится $2/3/(2/3)^{n}$ и что из этого следует?

[gris]

Это равно $(1.5)^{n-1}$. Ну хоть на калькуляторе попробуйте поумножать.

[PoorFellow Tom]

Значит второе слагаемое больше , и соответсвенно мне нужно выносить первое слагаемое

[gris]

Если $2^{n}\sin(1/3^{n})$, то есть знаменатель, больше, то дробь будет меньше единицы. А разве $1.5$ меньше единицы?

[PoorFellow Tom]

Логично, спасибо