Знаки корней уравнения 4-ой степени с параметрами

[Ketsyki]

Здравствуйте.

Есть ли какие-нибудь способы определить знаки корней уравнения 4 степени, если в уравнении есть 2 параметра? Т.е., например, есть такое уравнение $s^4+s^3+(a-1)s^2+(14a+b)s+14b=0$ и я хочу определить, при каких $a$ и $b$ все корни будут отрицательные (в том числе, чтобы вещественная часть комплексных корней тоже была отрицательной).

[venco]

Можно попробовать использовать тот факт, что корни производной находятся между корней исходного многочлена.

[TR63]

venco в сообщении #789037 писал(а):

я хочу определить, при каких $a$ и $b$ все корни будут отрицательные (в том числе, чтобы вещественная часть комплексных корней тоже была отрицательной).

Такая задача решается с помощью теоремы Гурвица. (Хотя критерий для уравнения четвёртой степени можно вывести без этой теоремы Гурвица; область получится такая же.) Запишите условия Гурвица и далее простые алгебраические преобразования.

-- 15.11.2013, 21:37 --

Если Вы хотите, чтобы все корни были отрицательны и действительны, то такая задача уже рассматривалась. Правда, есть и другое решение. Пока рассмотрите то, что Вам предложили.