одно неравенство

[ecartman]

Здравствуйте, пытаюсь доказать, что $1-(1-x)^n-x/(1-x)<(1-e^{nx})(1-x)$, где $n>0$ и $x\in(0,1)$. Проверил на компьютере - похоже, что это верно. Но уже все перебрал, никак не могу показать. Буду признателен любым полезным идеям.

[Urnwestek]

Разложить всё в ряды.

[provincialka]

У вас опечатки нет? Графическое решение не дает такого результата. Правая часть отрицательная.

[ecartman]

Да, тут опечатка, должно быть так: $1-(1-x)^n-x/(1-x)<(1-e^{-nx})(1-x)$, где $n>0$ и $x\in(0,1)$, т.е., в экспоненте степень отрицательная.

-- Чт ноя 14, 2013 03:47:44 --

Urnwestek в сообщении #788417 писал(а):

Разложить всё в ряды.

А можно подробнее?

[sup]

Судя по всему, неравенство не верно. Положите $x = \frac{\ln n}{n}$ и устремите $n \to \infty$.

-- Чт ноя 14, 2013 11:33:52 --

Возможно, с выбором $x$ я промахнулся. Надо положить $nx = \lambda$ и подобрать подходящее $\lambda$. Исходное неравенство удобно привести к виду

$$ (1-x)^{n-1}\left(1 + \frac{x^2}{(1-x)^{n+1}}\right) > e^{-nx}$$

и прологарифмировать.

[ecartman]

sup в сообщении #788447 писал(а):

Судя по всему, неравенство не верно. Положите $x = \frac{\ln n}{n}$ и устремите $n \to \infty$.

-- Чт ноя 14, 2013 11:33:52 --

Возможно, с выбором $x$ я промахнулся. Надо положить $nx = \lambda$ и подобрать подходящее $\lambda$. Исходное неравенство удобно привести к виду

$$ (1-x)^{n-1}\left(1 + \frac{x^2}{(1-x)^{n+1}}\right) > e^{-nx}$$

и прологарифмировать.

Получается, что все равно неравенство работает, т.к, при такой замене $(1-\lambda/n)^{n-1}\to e^{-\lambda}$ и:

$$ \left(1 + \frac{x^2}{(1-x)^{n+1}}\right)\to 1 $$

причем этот предел будет сверху, т.е., получается, что неравенство работает.

[provincialka]

На графике левая и правая части очень хорошо совпадают, чем больше $n$, тем лучше. Так что разложение в ряд Тейлора придется делать до достаточно большой степени $x$.

[sup]

"Достаточно большая" - это 2. После логарифмирования получаем

$$\frac{x^2}{(1-x)^{n+1}} + O\left(\frac{x^4}{(1-x)^{2(n+1)}}\right) - (n-1)(x +x^2/2 + O(x^3)) > - nx$$

Отсюда

$$O(e^\lambda) x^2 + O(e^{2\lambda}x^4) - \lambda x/2 + x^2/2 + O(\lambda x^2) > - x$$

Значит надо выбрать $\lambda > 2$ и после этого достаточно малое $x$.

[ecartman]

sup в сообщении #788815 писал(а):

"Достаточно большая" - это 2. После логарифмирования получаем

$$\frac{x^2}{(1-x)^{n+1}} + O\left(\frac{x^4}{(1-x)^{2(n+1)}}\right) - (n-1)(x +x^2/2 + O(x^3)) > - nx$$

Отсюда

$$O(e^\lambda) x^2 + O(e^{2\lambda}x^4) - \lambda x/2 + x^2/2 + O(\lambda x^2) > - x$$

Значит надо выбрать $\lambda > 2$ и после этого достаточно малое $x$.

Ок, спасибо, значит не работает неравенство. (только еще должен быть член $O(x^3)$ в левой части).