Дифференциальное уравнение

[Pyphagor]

Не используя метод неопределенных
коэффициентов найти частное решение
неоднородного:
$x(x+4)y''-(2x+4)y'+2y=x+4$

[Brukvalub]

А это возможно? У меня не получается найти такое решение даже методом неопределенных коэффициентов

[Someone]

Ну, скажем, так.
1) Заметим, что

$$\left(\frac{xy'-2y}{x+4}\right)'=\frac{x(x+4)y''-(2x+4)y'+2y}{(x+4)^2}\text{,}$$

поэтому заданное уравнение после деления на $(x+4)^2$ запишется в виде

$$\left(\frac{xy'-2y}{x+4}\right)'=\frac 1{x+4}\text{,}$$

откуда

$$\frac{xy'-2y}{x+4}=\ln|x+4|+C_1\text{.}$$

2) Умножим на $x+4$:

$$xy'-2y=(x+4)(\ln|x+4|+C_1)\text{.}$$

Заметим, что

$$\left(\frac y{x^2}\right)'=\frac{xy'-2y}{x^3}\text{,}$$

поэтому, разделив на $x^3$, полученное уравнение можно записать в виде

$$\left(\frac y{x^2}\right)'=\left(\frac 1{x^2}+\frac 4{x^3}\right)(\ln|x+4|+C_1)\text{.}$$

Закончите сами?

Brukvalub писал(а):

А это возможно? У меня не получается найти такое решение даже методом неопределенных коэффициентов.

Ничего удивительно. Кто же догадается, что там логарифмы...

[Brukvalub]

Да, мастерство не пропьёшь...