2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Производная Фреше. Функ.ан.
Сообщение24.05.2007, 17:22 
Привет.
Помогите взять производные Фреше (задачник Треногина по функциональному анализу):

Задача № 23.21.в)
Найти производные следующих операторо в точке u0:
F(u)=u(x)-e^x^u^(^x^) в пространстве С[0,1], u0(x)=0

Задача 23.13)
Найти производные Фреше функционала G(x)=||x|| в вещественном гильбертовом пространстве
(F(x)=(x,x) у меня получилась, помощь нужна только с этой ...)

Заранее спасибо!

 
 
 
 
Сообщение24.05.2007, 17:44 
Аватара пользователя
Если есть производная по Фреше, то она есть и по Гато, и они совпадают, поэтому обычно сначала вычисляют производную по Гато, что обычно делается проще, чем сразу искать производную по Фреше, а затем для вычисленной производной по Гато проверяют, что она является и производной по Фреше.

 
 
 
 Re: Производная Фреше. Функ.ан.
Сообщение24.05.2007, 20:22 
Lio писал(а):

Задача 23.13)
Найти производные Фреше функционала G(x)=||x|| в вещественном гильбертовом пространстве
(F(x)=(x,x) у меня получилась, помощь нужна только с этой ...)

Заранее спасибо!


1) \[
F'\left( x \right) = 2x
\].
2) \[
G\left( x \right) = \sqrt {F\left( x \right)} 
\]
3) Далее - по теореме о дифференцировании сложной функции.

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

Lio писал(а):
Задача № 23.21.в)
Найти производные следующих операторо в точке u0:
F(u)=u(x)-e^x^u^(^x^) в пространстве С[0,1], u0(x)=0



В одном из предыдущих номеров выписана прямо формула, как все считать. Поищите внимательнее - там только подставить нужно правильно.

Добавлено спустя 4 минуты 45 секунд:

Номер 23.20.

Формула:
\[
F'\left( x \right) = f_u \left( {x,u_0 \left( x \right)} \right)
\]

 
 
 
 Re: Производная Фреше. Функ.ан.
Сообщение25.05.2007, 09:36 
Brukvalub писал(а):
Если есть производная по Фреше, то она есть и по Гато, и они совпадают, поэтому обычно сначала вычисляют производную по Гато, что обычно делается проще, чем сразу искать производную по Фреше, а затем для вычисленной производной по Гато проверяют, что она является и производной по Фреше.

Спасибо. Номер 21 по Гато удалось решить. Она действительно оказалась проще.
Правда с 13 все еще засада. Не сходиться с ответом ...
mag_marilyn писал(а):
Lio писал(а):

Задача 23.13)
Найти производные Фреше функционала G(x)=||x|| в вещественном гильбертовом пространстве
(F(x)=(x,x) у меня получилась, помощь нужна только с этой ...)

Заранее спасибо!


1) \[
F'\left( x \right) = 2x
\].
2) \[
G\left( x \right) = \sqrt {F\left( x \right)} 
\]
3) Далее - по теореме о дифференцировании сложной функции.

К сожалению я не понял. Я так полагаю, что G(x)=||x||=\sqrt{(x,x)\right
По Фреше:
\sqrt{(x+h,x+h)}\right-\sqrt{(x,x)}\right - вот тут я не могу догнать, что с этими корнями делать. Как линейную часть вытащить ...
По Гато кое что выходит, но с ответом не сходиться. У меня получается (x,h)/||x||. В ответах (x,h)/(x,x).
mag_marilyn писал(а):
Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

Lio писал(а):
Задача № 23.21.в)
Найти производные следующих операторо в точке u0:
F(u)=u(x)-e^x^u^(^x^) в пространстве С[0,1], u0(x)=0



В одном из предыдущих номеров выписана прямо формула, как все считать. Поищите внимательнее - там только подставить нужно правильно.

Добавлено спустя 4 минуты 45 секунд:

Номер 23.20.

Формула:
\[
F'\left( x \right) = f_u \left( {x,u_0 \left( x \right)} \right)
\]


Уже решил. Спасибо. Правда по Гато :). И я вас опять не понял - что сия формула означает и дает?..

 
 
 
 
Сообщение25.05.2007, 09:48 
.
Lio писал(а):
По Фреше:
$\sqrt{(x+h,x+h)}\right-\sqrt{(x,x)}\right$ - вот тут я не могу догнать, что с этими корнями делать. Как линейную часть вытащить ...

а как произвдоную композиции отображений. есть ведь такая формула.
Lio писал(а):
У меня получается (x,h)/||x||. В ответах (x,h)/(x,x)

У меня кстати ответ с Вашим сходится (правда это по Фреше сразу) - в Треногине бывают опечатки в ответах. (но лучше подождите еще ответов, а то я в фане немного плаваю :roll: )

 
 
 
 Re: Производная Фреше. Функ.ан.
Сообщение25.05.2007, 09:49 
Lio писал(а):
Уже решил. Спасибо. Правда по Гато :). И я вас опять не понял - что сия формула означает и дает?..


Прочтите номер 23.20. Там общая формула дифференцирования для функционалов над C[a,b]. С ней проще решать последующие примеры.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2007, 09:50 
mag_marilyn писал(а):
$F'\left( x \right) = 2x $


а почему это так? какая-то некорректная запись. В конечномерном вещественном пространстве это так.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2007, 09:51 
Мораль: использовать определения в лоб - это хорошо. Но иногда лучше постараться схитрить...

 
 
 
 
Сообщение25.05.2007, 10:08 
Zo писал(а):
.
Lio писал(а):
По Фреше:
$\sqrt{(x+h,x+h)}\right-\sqrt{(x,x)}\right$ - вот тут я не могу догнать, что с этими корнями делать. Как линейную часть вытащить ...

а как произвдоную композиции отображений. есть ведь такая формула.

Буду юзать поиск :). Пока я не знаю, что это значит ...

Zo писал(а):
Lio писал(а):
У меня получается (x,h)/||x||. В ответах (x,h)/(x,x)

У меня кстати ответ с Вашим сходится (правда это по Фреше сразу) - в Треногине бывают опечатки в ответах. (но лучше подождите еще ответов, а то я в фане немного плаваю :roll: )

Очень приятно слышать :)

mag_marilyn писал(а):
Lio писал(а):
Уже решил. Спасибо. Правда по Гато :). И я вас опять не понял - что сия формула означает и дает?..


Прочтите номер 23.20. Там общая формула дифференцирования для функционалов над C[a,b]. С ней проще решать последующие примеры.

Аха. Т.е. имеется ввиду, что:
dF(x,u0)=F'(u0)h(x)
Спасибо. Попробую разобраться.
mag_marilyn писал(а):
Мораль: использовать определения в лоб - это хорошо. Но иногда лучше постараться схитрить...

Для хитростей не хватает знаний, опыта и навыка. Но надеюсь все впереди =)

 
 
 
 
Сообщение25.05.2007, 10:24 
Lio писал(а):
Буду юзать поиск Smile. Пока я не знаю, что это значит ...

в Треногине номер 23.12 :wink:

 
 
 
 
Сообщение25.05.2007, 10:30 
Zo писал(а):
Lio писал(а):
Буду юзать поиск Smile. Пока я не знаю, что это значит ...

в Треногине номер 23.12 :wink:

Спасибо.
Всем спасибо за советы! Очень помогли

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group