Свойство транзитивности бинарного отношения

[angor6]

Хотелось бы с вашей помощью разобраться со свойством транзитивности. Общепринятое определение этого свойства гласит: "Отношение $R$ называется транзитивным, если из $(a,~b)\in R$ и $(b,~c)\in R$ следует $(a,~c)\in R$". Вроде бы всё понятно, и можно, положив $a=c,$ получить, что отношение неравенства $(\ne)$, рассматриваемое на множестве действительных чисел, не является транзитивным. Хотя условие $a=c$ - явно надуманное...

Иное определение транзитивности даёт В. А. Горбатов в учебнике "Фундаментальные основы дискретной математики": "Отношение $T$ в множестве $M$ называется транзитивным, если из $(m_i,~m_j)\in T$ и $(m_j,~m_k)\in T$ следует $(m_i,~m_k)\in T,$ где $m_i,~m_j,~m_k \in M,~m_i \ne m_j,~m_i \ne m_k,~m_j \ne m_k$". Если не ошибаюсь, требование(?) неравенства элементов, принадлежащих множеству $M,$ приводит к выводу о транзитивности отношения неравенства $(\ne)$, рассматриваемого на множестве действительных чисел.

Возникла дилемма...

[mihailm]

Ну что вы дурака то валяете? Исправьте в Горбатове опечатку.
Или опять на нескольких страницах бодягу будете разводить?

Вот, например, какое решение вы ждете у этой "великой" проблемы??? С вашей подачи исправим общепринятое определение транзитивности (ваше имя понятно в википедию и все учебники); предадим позору Горбатова и направим в ВАК требование лишить его чего этот ВАК лишить может; изъять все учебники "Фундаментальные основы дискретной математики" (самого Горбатова не трогать)

[angor6]

mihailm

(Оффтоп)

Мне бы хотелось, чтобы Вы адекватнее относились к моим вопросам. "Бодягу" в данном случае разводите Вы. Если не можете ответить по существу - не отвечайте. Всего доброго!

[bot]

Зря возникаете. Обязанность читающего исправлять неизбежные в издательском деле очепятки и не разводить бодягу на пустом месте.

-- Вт ноя 12, 2013 15:03:15 --

В студенчестве своих конспектов не имел, над приглаженными засыпал, лучшей подготовкой считал отвратительные конспекты с многочисленными описками и пропусками.
Некоторые лекторы для обратной связи практикуют сознательно допускаемые ошибки.

[angor6]

bot

(Оффтоп)

Если заведомо считать, что в учебниках сознательно допускаются ошибки, то грош цена этим учебникам. Но я не об этом.

Значит, в учебнике Горбатова допущена ошибка? И правильным является то определение свойства транзитивности, которое я записал первым?

(Оффтоп)

Я не "возникаю", а рассчитываю на конкретный ответ. Для меня не очевидно, что Горбатов ошибается. Поэтому я и спросил.

Похоже, на этом форуме вопросы могут задавать только профессиональные математики. Их интересуют более сложные проблемы, до понимания которых я вряд ли дорасту. Я с сожалением уйду тогда с этого форума, но не мешало бы о требованиях к уровню форумчан написать где-нибудь для неискушённых.

[Nemiroff]

angor6 в сообщении #787817 писал(а):

Значит, в учебнике Горбатова допущена ошибка? И правильным является то определение свойства транзитивности, которое я записал первым?

Определение не бывает неправильным — это раз. Два — какая разница? ОК, неравенство там транзитивно, а там нет — и что? Это просто слова. Какие свойства далее будут использоваться, будут выводиться, чтобы имело вообще смысл задумываться, как лучше определять транзитивность? Где вам важно, является неравенство транзитивным или нет?
Три — на 25 странице вашего учебника вполне себе определение транзитивности.

[angor6]

Nemiroff
Решал для себя задачу, в которой требовалось установить, какими свойствами обладает отношение неравенства, заданное на множестве действительных чисел. И не смог однозначно ответить на вопрос, является ли это отношение транзитивным. Поэтому попробовал обратиться сюда.

(Оффтоп)

Но, похоже, на этом форуме никто конкретно на вопросы не отвечает, даже если спрашивающий аргументирует свою точку зрения и просит помочь разобраться. Для меня это неожиданно. Это проявление снобизма математиков-прфессионалов, что ли? :-(

-- 12.11.2013, 10:38 --

Nemiroff
А на с. 25 определяется не свойство транзитивности, а отношение упорядоченности (меньше или равно)...

[Nemiroff]

angor6 в сообщении #787822 писал(а):

А на с. 25 определяется не свойство транзитивности, а отношение упорядоченности (меньше или равно)...

Ну там же есть при этом явное указание, что такое транзитивность.

angor6 в сообщении #787822 писал(а):

Решал для себя задачу, в которой требовалось установить, какими свойствами обладает отношение неравенства, заданное на множестве действительных чисел. И не смог однозначно ответить на вопрос, является ли это отношение транзитивным.

Зависит от определения. Неужели это заранее не понятно?

Общепринятая терминология есть в Вики (в том числе английской).

angor6 в сообщении #787822 писал(а):

Но, похоже, на этом форуме никто конкретно на вопросы не отвечает, даже если спрашивающий аргументирует свою точку зрения и просит помочь разобраться.

Сильно зависит от вопроса.

[angor6]

Nemiroff
Не удивлюсь, если меня снова упрекнут в "бодяжничестве". Но меня не интересует отношение порядка. С ним всё понятно...

Правильно ли я понял, что свойство транзитивности можно определять по-разному? Может быть, в зависимости от целей построения теории. И ответ на решавшуюся мной задачу о транзитивности отношения неравенства зависит от принятой системы определений?

Больше мне ничего не надо.

[Someone]

Хм. У Горбатова и симметричность отношения определяется с этой оговоркой: "Отношение $T$ в множестве $M$ называется симметричным, если из $(m_i,m_j)\in T$ следует $(m_j,m_i)\in M$, $m_i\neq m_j$". ($M$ вместо $T$, разумеется, опечатка.)

Nemiroff в сообщении #787819 писал(а):

Три — на 25 странице вашего учебника вполне себе определение транзитивности.

Вот именно: на соседних страницах два не эквивалентных определения одного и того же термина.

(Оффтоп)

Немного "полистал" книгу на экране. Кое-что производит странное впечатление.

И вот это:

Цитата:

Горбатов Вячеслав Афанасьевич, академик многих академий, в том числе Международной академии информатизации (МАИ), РАЕН, Российской академии медико-технических наук...

И тщательное перечисление заслуг и наград.

angor6 в сообщении #787822 писал(а):

Но, похоже, на этом форуме никто конкретно на вопросы не отвечает, даже если спрашивающий аргументирует свою точку зрения и просит помочь разобраться. Для меня это неожиданно. Это проявление снобизма математиков-прфессионалов, что ли?

Отвечаю конкретно: при стандартном определении транзитивности отношение $\neq$ не транзитивно.

angor6 в сообщении #787822 писал(а):

А на с. 25 определяется не свойство транзитивности, а отношение упорядоченности (меньше или равно)...

А внутри определения отношения частичного порядка, которое автор называет "упорядоченностью", сформулировано определение транзитивности отношения (и определения ещё двух свойств; все определяемые термины, как это принято, выделены курсивом).

angor6 в сообщении #787829 писал(а):

Правильно ли я понял, что свойство транзитивности можно определять по-разному?

Что угодно можно определять как захочется. Предупредив об этом собеседников (или читателей).

[angor6]

СПАСИБО! ТЕМА ЗАКРЫТА!

(Оффтоп)

Не завидую студенту, если эта задача появится у него в тесте, который сдаётся компьютеру, а не преподавателю, а студент знает два альтернативных определения транзитивности...

[mihailm]

(Оффтоп)

angor6 в сообщении #787817 писал(а):

...Похоже, на этом форуме вопросы могут задавать только профессиональные математики. Их интересуют более сложные проблемы, до понимания которых я вряд ли дорасту. Я с сожалением уйду тогда с этого форума, но не мешало бы о требованиях к уровню форумчан написать где-нибудь для неискушённых...

Не надо обижаться, попробуйте лучше подстроится к стилю форума.
Далее, получать на свои несложные вопросы ответы десятка ЗС, естественно и приятно и надежнее, но слишком жирно), довольствуйтесь 1-2 ответами.
И не надо думать, что здесь в математике можно невозбранно писать ерунду в ответах (неверным ответам обычно дается гораздо более жесткий отпор, чем недалеким и непродуманным вопросам)