Объем тела

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возникли сложности с такой задачкой:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $y^2+z^2=8x$, $x=6$, $y^2=2x$ (вне цилиндра).

А где здесь цилиндр? Или $y^2=2x$ подразумевают под цилиндром?

Рисунок получился вот такой:

(Рисунок)

Рисунок только для $z \geqslant 0$, так как снизу будет то же самое.

$y^2+z^2=8x \Rightarrow z = \pm \sqrt{8x-y^2}$

Тело состоит из четырех одинаковых частей. Будем вычислять объем одной части.

По $z$ эта одна часть ограничена $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{8x-y^2}$

В декартовых координатах:

$$V = \int\limits_{0}^{6} dx \int\limits_{\sqrt{2x}}^{2 \sqrt{2x}} dy \int\limits_{0}^{\sqrt{8x-y^2}} dz $$

Вроде как надо переходить в цилиндрическую СК. Но чтобы вот это уравнение $y^2+z^2=8x$ стало проще надо заменить $y$ и $z$ (чтобы потом использовать основное тригонометрическое тождество), но во всех просмотренных примерах, заменяют $x$ и $y$ (так как там $ax^2+ay^2=bz$)...

Подскажите, пожалуйста, как быть в данном случае?

[ИСН]

Быть так, чтобы стало проще. Можно быть так, чтобы стало сложнее, но тогда не станет проще. Можно попробовать так и так.

[Limit79]

ИСН
А если заменять, например, $y=r \cos( \varphi)$, $z= r \sin(\varphi)$, то проецировать тело нужно на плоскость $yOz$?

[ИСН]

Типа того. Но я прочитал наконец условие, и теперь мне вовсе не очевидно, будет ли в цилиндрической хоть сколько-то приятнее, чем в такой.
Пробовать надо.

[Limit79]

ИСН
Попробовал. Но результат в декартовых координатах:

$$V = \int\limits_{0}^{6} dx \int\limits_{\sqrt{2x}}^{2 \sqrt{2x}} dy \int\limits_{0}^{\sqrt{8x-y^2}} dz $$

не сходится с результатом в ЦСК

[ИСН]

Какие получились пределы в цилиндрической?

[Limit79]

ИСН

$$V = \int\limits_{0}^{\arctg(2)} d \varphi \int\limits_{\frac{2 \sqrt{3}}{\cos(\varphi)}}^{4 \sqrt{3}} r dr \int\limits_{\frac{r^2}{8}}^{6} dx + \int\limits_{0}^{\arctg(2)} d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{2 \sqrt{3}}{\cos(\varphi)}} r dr \int\limits_{\frac{r^2}{8}}^{\frac{1}{2} r^2 \cos^2( \varphi)} dx + \int\limits_{\arctg(2)}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{0}^{4 \sqrt{3}} r dr \int\limits_{\frac{r^2}{8}}^{\frac{1}{2} r^2 \cos^2( \varphi)} dx$$

[Limit79]

Я тут подумал, может ну ее к черту, эту ЦСК, может в декартовой вычислить? Там не сложно получается, единственное что - возникает $\int \sqrt{a^2-x^2} dx$.

Тогда вопрос в правильности расстановки пределов в декартовой СК.