Дифференцируемость оператора по Фреше.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Вот такая задача : исследовать на дифференцируемость по Фреше и Гато оператор $T : L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$, заданный по формуле $Tx(t) = \sin x(t)$, $t \in [0,1]$. С дифференцируемостью по Гато, вроде, получилось. Проблема с Фреше. Может кто-нибудь знает дифференцируем ли он или нет, чтобы было понятно, что доказывать. А пока пойдем по определению : $F: X \rightarrow Y$ дифференцируем по Фреше в точке $x_0$, если существует оператор $F'(x_0) \in \mathcal{L}(X,Y)}$ и отображение $r : U(x_0) \rightarrow Y$ :

$$ F(x_0 + h) = F(x_0) + F'(x_0)[h] + r(h), $$ $$ \lVert r(h) \rVert = \bar{o}(\lVert h \rVert), \lVert h \rVert \rightarrow 0. $$

Пишу : $\sin(x_0(t) + h(t)) = \sin x_0(t) \cos h(t) + \sin h(t) \cos x_0(t)$. Я как ни пробовал, но не могу выделить $F'(x_0)$ и $r$. Пробую показать,что оператор не дифференцируем, но пока не удается..Может есть у кого-нибудь какие-нибудь идеи

[Oleg Zubelevich]

3.14 в сообщении #787567 писал(а):

Пробую показать,что оператор не дифференцируем,

не надо это пробовать

[3.14]

Oleg Zubelevich
Ок

[Oleg Zubelevich]

кажется я не прав, надо подумать

[Oleg Zubelevich]

3.14 в сообщении #787567 писал(а):

шу : $\sin(x_0(t) + h(t)) = \sin x_0(t) \cos h(t) + \sin h(t) \cos x_0(t)$

возьмите $x_0=0$ и проверьте, что $\|\sin(h)-h\|_{L^2}$ не есть $o(\|h\|_{L^2})$
рассмотрите $h_n(x)=1$ при $x\in [1-1/n,1]$ и $h_n=0$ в остальных точках

[mihiv]

А почему не может быть $F'(x_0)=\cos (x_0(t))$ ? Так что действие оператора $F'(x_0)$ на функцию $h$ сводится к обычному умножению?
Oleg Zubelevich уже ответил.

[3.14]

mihiv
Я тоже так пробовал..Т. е. мне нужно было показать, что $\forall$ $\varepsilon > 0$ $\exists$ $\delta > 0$ : $\forall h : \lVert h \rVert < \delta$ $\Rightarrow$ $\lVert F(x_0 + h) - F(x_0) - F'(x_0)[h] \rVert \leq \lVert h \rVert \varepsilon$. (вроде так дифференцируемость по Фреше определяется на $\varepsilon-\delta$ языке). Вот оценить не получилось

-- 12 ноя 2013, 01:01 --

Oleg Zubelevich, mihiv
Спасибо. Сейчас обдумываю, что вы написали