Масса дуги кривой

[randy]

Дано уравнение $\frac {(x+4)^2}{49}+(y-7)^2=1$, рассчитать массу дуги при $x \geqslant -4$, $y\leqslant 7$, если плотность $r=7x-4y-xy+28$

Выражаем из уравнения эллипса $x$:
$x=-4\pm\sqrt {49(1-(y-7)^2)}$
и тут вопрос, какой знак надо оставлять, плюс или минус?

[gris]

Квадратный корень неотрицателен по определению. Если поставить минус, то получим, что $x<-4$, а если плюс, то получим то, что нам надо. Во если бы было условие $x>-5$, то пришлось бы часть дуги считать с плюсом, а другую часть с минусом. А так повезло, вырезается четвертушка и достаточно одного уравнения для неё.

[randy]

Хорошо, тогда $dx/dy=\frac {-7(y-7)}{\sqrt{1-(y-7)^2}}$
$ds=\sqrt {1+\frac {49(y-7)^2}{\sqrt{1-(y-7)^2}}}dy$
$r=(7y+49)\sqrt{1-(y-7)^2}$
Тогда масса равна интегралу $\int_6^7 {dy 7(y-7)\sqrt{1-(y-7)^2}\sqrt{\frac {1+48(y-7)^2}{1-(y-7)^2}}=\int_6^7 dy 7(y-7)\sqrt{1+48(y-7)^2}$
Для упрощения интеграла введем замену $1+48(y-7)^2=z$
тогда $96(y-7)dy=dz$
Подставляем в уравнение для $z$ границы интегрирования 6 и 7, получаем интеграл $\int_{49}^1 {7/96 \sqrt {z} dz}=-16.625$
Почему-то масса отрицательна

[provincialka]

А параметризовать? Эллипсы-круги лучше через угол описывать.

[randy]

provincialka в сообщении #787632 писал(а):

А параметризовать? Эллипсы-круги лучше через угол описывать.

а там корни сокращаются же, интеграл вполне компактный и после замены на $z$ совсем легкий

[provincialka]

Вы бы хоть замену $x+4=u,y-7=v$ сделали. Меньше писанины, меньше ошибок.

[gris]

А не ошиблись ли Вы в плотности со знаком? Ведь $r=(x+4)(7-y)=(7-y)\cdot 7 \sqrt{...}$

У Вас вообще в третьей строке $r=...$ перед $y$ потерялся минус, а в интеграл Вы вставили другое выражение для плотности. Там минус появился, но не на месте

И сдвиг в центр, конечно, кстати. Недавно была задачка про переход к полярным координатам. И тоже почему-то никто не двигает центр координат в центр области.