простой интеграл

[ecartman]

Здравствуйте, в одной статье встретил утверждение, что

$$ 2\int_r^B\left(\int_x^B\exp\left\{\dfrac{2}{\mu^2 t}\right\}\,dt\right)\dfrac{1}{\mu^2 x^2}\exp\left\{-\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\}\,dx = B-r, $$

где $B\ge r\ge 0$. Пытаюсь это проверить, и никак не получается. Сначала можно заметить, что:

$$ \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\exp\left\{-\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\} = \dfrac{1}{\mu^2 x^2}\exp\left\{-\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\}, $$

и тогда

$$ 2\int_r^B\left(\int_x^B\exp\left\{\dfrac{2}{\mu^2 t}\right\}\,dt\right)\dfrac{1}{\mu^2 x^2}\exp\left\{-\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\}\,dx = \int_r^B\left(\int_x^B\exp\left\{\dfrac{2}{\mu^2 t}\right\}\,dt\right)\,d\exp\left\{-\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\}. $$

Далее положим

$$ U(x) = \exp\left\{\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\}\;\;\Rightarrow\;\; U(-x) = \exp\left\{-\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\} $$

и кроме того $U(x) U(-x)=1$ и интеграл получается

$$ \int_r^B\left(\int_x^B\exp\left\{\dfrac{2}{\mu^2 t}\right\}\,dt\right)\,d\exp\left\{-\dfrac{2}{\mu^2 x}\right\}= \int_r^B\left(\int_x^B U(t)\,dt\right)\,U'(-x)\,dx $$

и интегрирование по частям дает

$$ \int_r^B\left(\int_x^B U(t)\,dt\right)\,U'(-x)\,dx = -U(-x)\left.\left(\int_x^B U(t)\,dt\right)\right|_{x=r}^{x=B}+\int_r^B U(-x)\,U(x)\,dx. $$

Второй интеграл в правой части равен $B-r$ т.к. $U(-x)\,U(x)=1$. Первое же слагаемое при $x=B$ обращается в 0, но при $x=r$ никак не упрощается. Что тут не так? Заранее спасибо.

[ecartman]

Похоже, что авторы статьи ошиблись с интегралом.