Перестановки ("Орлёнок")

[Ktina]

Для каждой перестановки $(x_1, x_2, …, x_9)$ чисел от 1 до 9 рассмотрим выражение $x_1+2x_2+…+9x_9$. Сколько разных значений оно может принимать?

[venco]

61

[hippie]

Ответ: 121.

Все от 165 до 285.

[venco]

Согласен. Что-то у меня переклинило, что чётные не могут получиться.

[kknop]

Я знаю, что этот ответ правилен, но все-таки нужно доказывать возможность получения _всех_ промежуточных значений. Например, для $x_1+2x_2+3x_3=12$ (где иксы - перестановка чисел 1,2,3) решений нет, хотя 12 находится в диапазоне от 10 до 14.

[Ktina]

hippie в сообщении #787405 писал(а):

Ответ: 121.

Все от 165 до 285.

Вот мне тоже так кажется, а доказать не могу. Как в анекдоте про Чапаева: "Умом чувствую, что литр, а доказать не могу".

[hippie]

Для перестановок чисел от 1 до 4 получаются все значения от 20 до 30.

Добавляя к ним пятёрку в начале (т.е. получая выражения вида $1\cdot 5 + 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4$) получаем все числа от 35 до 45; добавляя пятёрку в конце (т.е. получая выражения вида $1x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5\cdot 5$) получаем все числа от 45 до 55.

Теперь добавляя шестёрку в начале получаем все числа от 56 до 76; добавляя шестёрку в конце получаем все числа от 71 до 91.

И т.д.

[Terraniux]

Условно было (№ 3.)