Применение критерия согласия Пирсона в C++

[smog]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Требуется помощь с проверкой некоторой гипотезы с применением критерия согласия Пирсона (\aleph^2) и C++.

Имеются случайные величины $\xi$ и $\eta = \xi^2$. Известно, что $\xi$ имеет экспоненциальное распределение.

Таким образом, \begin{tabular}{l}$F_\xi(x) = \begin{cases}1 - e^{-\alpha x},&\text{если $x\geq0$}\\0,&\text{если $x<0$}\\\end{cases}$ \\$f_\xi(x) = \begin{cases}\alpha e^{-\alpha x^2},&\text{если $x\geq0$}\\0,&\text{если $x<0$}\\\end{cases}$ \\\end{tabular}


Гипотеза, требующая проверки: $\boxed{f_\eta(x) = \begin{cases}\frac {\alpha e^{-\alpha x^2}} {2 \sqrt{x}},&\text{если $x>0$}\\0,&\text{если $x\leq0$}\\\end{cases}}$, где $f_\eta(x) - плотность распределения \eta.


Стыдно признать, но попросту не знаю с какой стороны подойти.
Как найти \alpha? Что брать в качестве выборки? По какому принципу разбивать на интервалы? Как подсчитывать вероятности попадания в интервал?
Я прекрасно понимаю, что вопросы должны быть далеко не такими базовыми, но мне не удается сдвинуться с места, подтолкните в нужном направлении пожалуйста :)

[Александрович]

В качестве выборки следует брать элементы выборки, полученные в результате эксперимента. У вас они есть?

[smog]

Александрович в сообщении #787111 писал(а):

В качестве выборки следует брать элементы выборки, полученные в результате эксперимента. У вас они есть?

Нет, все, что было дано, я написал. Как я могу их сгенерировать?

[--mS--]

А давайте я безо всяких критериев скажу, что гипотеза о том, что распределение квадрата экспоненциально распределённой величины описывается заключённой в рамочку плотностью, верна? Может быть, Вы попробуете всё же внятно сформулировать задачу?

[smog]

--mS-- в сообщении #787124 писал(а):

А давайте я безо всяких критериев скажу, что гипотеза о том, что распределение квадрата экспоненциально распределённой величины описывается заключённой в рамочку плотностью, верна? Может быть, Вы попробуете всё же внятно сформулировать задачу?

Требуется написать программу на C++, где данная гипотеза будет проверена с применением критерия согласия Пирсона.

[--mS--]

Чтобы писать программу, надо представлять себе, какие у программы будут входные данные и что она должна делать. С помощью любых статистических критериев проверяют гипотезу о том, что данная выборка имеет такое-то или сякое-то распределение. Вы хотите в программе сгенерировать выборку, и там же проверить её на соответствие указанной плотности? Ну так берите генератор равномерно распределённых величин, делайте из них показательные как $-\frac{1}{\alpha}\ln X_i$, возводите в квадрат, дальше изучайте, что такое хи-квадрат критерий.

[smog]

В очередной раз требуется помощь. Не удается написать функцию распределения \eta.

Плотность распределения дана: f_\eta(x) = \begin{cases}\frac {\alpha e^{-\alpha x^2}} {2 \sqrt{x}},&\text{если $x>0$}\\0,&\text{если $x\leq0$}\\\end{cases}.

Знаем, что F_\eta(x) = \int_{-\infty}^{x} f_\eta(x) dx.

WolframAlpha подсказывает, что искомая функция имеет вот такой вид: F_\eta (x) = -1/4\cdot\alpha^{3/4}\cdot[\Gamma(1/4, \alpha\cdotx^2) - \Gamma(1/4, \alpha\cdot\infty)].

Как это выразить на C++ ? Не могу найти способ выражения неполной гамма-функции.

[vlad_light]

Цитата:

Как это выразить на C++ ?

А вы оставьте так, как есть, т.е. $F_\eta(x) = \int_{0}^{x} f_\eta(x) dx$ и считайте каждый раз интеграл.

[smog]

vlad_light в сообщении #791553 писал(а):

Цитата:

Как это выразить на C++ ?

А вы оставьте так, как есть, т.е. $F_\eta(x) = \int_{0}^{x} f_\eta(x) dx$ и считайте каждый раз интеграл.

Упс, неправильно написал. $F_\eta(x) = \int_{-\infty}^{x} f_\eta(t) dt$.
Таким образом, я не могу каждый раз просто брать интеграл - не хватает данных: в качестве входного параметра для функции у меня будет лишь $x$, в то время как $t$ отсутствует.

Deggial: smog, формулы просто окружайте долларами - тег math проставится сам, да и шрифт будет единообразный.
Формулы поправил - посмотрите.

[provincialka]

Ну, по большому счёту, $t$ и не присутствует в интеграле, это связанная переменная. Можно самостоятельно придавать ей значения и вычислять численно.

[--mS--]

О-о-опс, а что-то я как-то невнимательно глядела и на плотность исходной величины, и на плотность квадрата - а ведь ни та, ни другая неверна. Как это у Вас получилось

Вот это

smog в сообщении #787098 писал(а):

$f_\xi(x) = \begin{cases}\alpha e^{-\alpha x^2},&\text{если } x\geq0 \\ 0, &\text{если } x<0 \end{cases}$

И вот это:

smog в сообщении #787098 писал(а):

$\boxed{f_\eta(x) = \begin{cases}\frac {\alpha e^{-\alpha x^2}} {2 \sqrt{x}},&\text{если } x>0 \\ 0,&\text{если } x\leq0 \end{cases}}$

[smog]

--mS-- в сообщении #791787 писал(а):

О-о-опс, а что-то я как-то невнимательно глядела и на плотность исходной величины, и на плотность квадрата - а ведь ни та, ни другая неверна. Как это у Вас получилось

Вот это

smog в сообщении #787098 писал(а):

$f_\xi(x) = \begin{cases}\alpha e^{-\alpha x^2},&\text{если } x\geq0 \\ 0, &\text{если } x<0 \end{cases}$

И вот это:

smog в сообщении #787098 писал(а):

$\boxed{f_\eta(x) = \begin{cases}\frac {\alpha e^{-\alpha x^2}} {2 \sqrt{x}},&\text{если } x>0 \\ 0,&\text{если } x\leq0 \end{cases}}$

Обе функции были даны по условию, я ничего не получал :)
Имеется $\xi$ с экспоненциальным распределением. Необходимо написать программу на C++, в которой, с помощью критерия согласия Пирсона, будет проверено соответствует ли плотность распределения $\eta=\xi^2$ данной.

[--mS--]

Ничего, что ни та, ни другая ни разу не плотность? Как Вы вероятности собираетесь считать, если это не вероятности?

[smog]

--mS-- в сообщении #791834 писал(а):

Ничего, что ни та, ни другая ни разу не плотность? Как Вы вероятности собираетесь считать, если это не вероятности?

Почему это не плотности ?

[--mS--]

Потому что условие нормировки не выполнено.