Вопрос о линейных операторах

[brat2]

Здравствуйте!
Извиняюсь за, возможно, глупый вопрос, хотел спросить -
может ли линейный оператор переводить два разных вектора в один ненулевой?
(и если не может, то как это доказать?)

[ewert]

Может.

[Sonic86]

Для построения примера удобно воспользоваться операторами проекции.

[brat2]

Да, точно, спасибо!
Значит преподаватель, видимо, имел в виду, что для того, чтобы показать, что лин. оператор не переводит два вектора в один, достаточно показать, что не он переводит два вектора в нулевой. Это, наск. я понимаю, можно через разность векторов переводящихся в один, показать, да (она будет нулём)?

[ewert]

Не надо никаких примеров. Допустим, некоторый вектор $z$ переводится этим оператором в ноль. Так надо просто взять какой-нибудь вектор $x$, переводящийся не в ноль, и рассмотреть пару векторов $x$ и $y=x+z$.

-- Вс ноя 10, 2013 13:29:51 --

brat2 в сообщении #787004 писал(а):

чтобы показать, что лин. оператор не переводит два вектора в один, достаточно показать, что не он переводит два вектора в нулевой.

, что он не переводит один ненулевой вектор в нулевой (т.е. что ни один ненулевой вектор не переводится в нулевой). Это эквивалентные утверждения (в линейном случае): взаимная однозначность оператора с одной стороны и его необращение в ноль с другой.

[brat2]

Спасибо!