Израиль 2013, первый тур, задача 10

[arqady]

Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ действительные числа, для которых $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=6$.
Найдите наибольшее значение следующего выражения.

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$$

[Shadow]

$\\x_1=\frac a b +\frac c d\\ x_2=\frac b c +\frac d a$

корни квадратного уравнения. Их сумма равна 6, произведение - искомое выражение (k)
$x^2-6x+k=0$
Корни действительные при $k \le 9$

[kknop]

Shadow в сообщении #785966 писал(а):

$\\x_1=\frac a b +\frac c d\\ x_2=\frac b c +\frac d a$

корни квадратного уравнения. Их сумма равна 6, произведение - искомое выражение (k)
$x^2-6x+k=0$
Корни действительные при $k \le 9$

Прекрасно, хотя надо еще проверить, что система $3=\frac a b +\frac c d, \ 3=\frac b c +\frac d a$ имеет действительные решения