Период у cos(ln x)

[Tosha]

$y=\cos(\ln x)$

Интуитивно ясно, что периода -- нет. А как честно это доказать?

$f(x)=f(x+T)$

$\cos(\ln (x+T))-\cos(\ln x)=0$

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2};$$

$$\cos(\ln (x+T))-\cos(\ln x)=-2\sin\frac{\ln (x+T)+\ln x}{2}\sin\frac{\ln (x+T)-\ln x}{2}=0$$

1) $\ln (x+T)+\ln x=2\pi k,k\in\mathbb{Z}$

$\ln(x(x+T))=2\pi k \Rightarrow\;\;\;\; x(x+T)=e^{2\pi k}\Rightarrow\;\;\;\;T=\frac{e^{2\pi k}}{x}-x$

Так как $T=T(x)$, то $T$ -- не период.

2) $\ln (x+T)-\ln x=2\pi k,k\in\mathbb{Z}$

$\ln\left(\dfrac{x+T}{x}\right)=2\pi k$

$\dfrac{x+T}{x}=e^{2\pi k}$

$T=xe^{2\pi k}-x$

Так как $T=T(x)$, то $T$ -- не период.

Можно ли это считать обоснованием? Можно ли сделать было проще?

[iifat]

Если уж заниматься буквоедством, то $T=T(x,k)$ и $T\neq Const$ доказывается чуть-чуть сложнее.
Чуток, имхо, можно было б упростить, сразу вспомнив значение периода косинуса и перейдя к единственному варианту 2.

[Nemiroff]

Tosha в сообщении #785908 писал(а):

Можно ли это считать обоснованием? Можно ли сделать было проще?

Только аккуратнее: при $k=0$ у вас $T$ не является функцией от $x$ во втором случае. Но это ничего не меняет.
Можно так: у вас функция дифференцируема. Находите производную и понимаете, что она является бесконечно малой на бесконечности.

[iifat]

И точно. Где-то надо добавить, что мы ищем $T\neq0$

[provincialka]

А ничего, что функция определена только для $x>0$? Разве может быть такая область определения у периодической функции?

[iifat]

Интуиция есть непосредственное усмотрение истины.
Снимаю шляпу.

[gris]

Можно ещё заметить, что промежутки между нулями на бесконечности неограниченно возрастают.
(Ну это если рассматривать периодичность только "вперёд").