2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Длина как производная от площади при гомотетичном расширении
Сообщение23.05.2007, 21:50 


22/06/05
164
Задачка простая, но в учебниках для школьников и первокурсников она мне не попадалась.

Заметим, что длина окружности равна $L(r)=2\pi r$, а площадь круга равна $S(r)=\pi r^2$. При этом $L(r)=S'(r)$. Т. е. при гомотетичном расширении длина границы равна производной от площади.

Задача 1. Так ли это для квадрата? Что нужно взять за $r$?

Задача 2. Найти широкий класс фигур, для которых это так.

Задача 3. Перенести на трёхмерный случай, привести примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина как производная от площади при гомотетичном расшир
Сообщение23.05.2007, 23:49 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Задача 1. За $r$ можно взять половину стороны квадрата. $L=8r,S=4r^2$

Задача 2. Любые "разумные" фигуры. Т.е. имеющие длину границы и площадь.

Задача 3. В общем -то все то же самое. Можно всегда определить такой линейный параметр $r$, что $S(r)=V^{'}(r)$, где $S$ - площадь поверхности, $V$ - объем. Для шара $r$ - это радиус, для куба - половина ребра.

 Профиль  
                  
 
 Да
Сообщение24.05.2007, 01:21 


22/06/05
164
Конечно, Вы правы. Легко показать, что всегда можно выбрать линейный параметр $r$ так, чтобы выполнялось равенство $L(r)=S'(r)$. Лишь бы существовали площадь и длина границы.

А теперь случай, когда параметр $r$ уже выбрали за нас достаточно естественным образом:

Задача 4. Пусть в фигуру Ф можно вложить круг радиуса 1 и нельзя вложить круг большего радиуса. Через $S(r)$ и $L(r)$ обозначим, соответственно, площадь и периметр (длину границы) фигуры, получаемой из фигуры Ф гомотетией с коэффициентом $r$. Описать достаточно широкий класс фигур Ф, для которых $S'(r)=L(r)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Да
Сообщение24.05.2007, 16:51 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Егор писал(а):
Задача 4. Пусть в фигуру Ф можно вложить круг радиуса 1 и нельзя вложить круг большего радиуса. Через $S(r)$ и $L(r)$ обозначим, соответственно, площадь и периметр (длину границы) фигуры, получаемой из фигуры Ф гомотетией с коэффициентом $r$. Описать достаточно широкий класс фигур Ф, для которых $S'(r)=L(r)$.

Поскольку уж начал, то и продолжу :).
Пусть $L=L(1), S=S(1)$. Тогда $L(r)=Lr,S(r)=Sr^2$ и $Lr=2Sr$, то есть $L=2S$.
Отсюда легко следует, что годятся любые многоугольники, описанные вокруг круга радиуса 1, можно оставлять "куски" окружности этого круга в качестве границы. Возможны и некоторые более экзотические невыпуклые фигуры вроде.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 итак, дуги окружности и отрезки касательных?
Сообщение25.05.2007, 01:42 


22/06/05
164
neo66 писал(а):
Поскольку уж начал, то и продолжу :).
Пусть $L=L(1), S=S(1)$. Тогда $L(r)=Lr,S(r)=Sr^2$ и $Lr=2Sr$, то есть $L=2S$.

Точно! Спасибо за критерий $L=2S$, я не сообразил.
neo66 писал(а):
Отсюда легко следует, что годятся любые многоугольники, описанные вокруг круга радиуса 1, можно оставлять "куски" окружности этого круга в качестве границы. Возможны и некоторые более экзотические невыпуклые фигуры вроде. ...

Из этих примеров возникает гипотеза: среди рассматриваемого класса фигур (содержащих единичный круг, не содержащих большего круга и имеющих спрямляемую границу) годятся те, у которых граница может быть представлена в виде объединения (конечного или счётного) дуг единичной окружности и отрезков прямых, касательных к единичной окружности. Как доказывать - не представляю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 07:40 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
переношу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 07:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Егор писал(а):
А теперь случай, когда параметр $r$ уже выбрали за нас достаточно естественным образом:

Самый естественный выбор параметра — это диаметр фигуры, т.е. точная верхняя грань расстояния между ее точками. Полагаю, что для любой фигуры, имеющей периметр диаметр существует.

Очевидно, что для рассматриваемых Вами фигур соотношение диаметра и параметра $r$ будет постоянным (относительно гомотетии).

Поскольку для любой фигуры при гомотетии $S(d) = S(1) d^2$, $L(d) = L(1) d$, то для выполнения Ваших требований необходимо и достаточно, чтобы $L(1) = 2 S(1)$. Т.е. для любой фигуры (имеющей площадь и периметр) существует подобная ей, обладающая нужным Вам свойством.

 Профиль  
                  
 
 но диаметр лишь пропорционален нужному параметру
Сообщение25.05.2007, 15:25 


22/06/05
164
незваный гость писал(а):
Самый естественный выбор параметра — это диаметр фигуры, т.е. точная верхняя грань расстояния между ее точками. Полагаю, что для любой фигуры, имеющей периметр диаметр существует.

Очевидно, что для рассматриваемых Вами фигур соотношение диаметра и параметра $r$ будет постоянным (относительно гомотетии).

Поскольку для любой фигуры при гомотетии $S(d) = S(1) d^2$, $L(d) = L(1) d$, то для выполнения Ваших требований необходимо и достаточно, чтобы $L(1) = 2 S(1)$. Т.е. для любой фигуры (имеющей площадь и периметр) существует подобная ей, обладающая нужным Вам свойством.

Последнюю Вашу фразу, как и первое сообщение neo66 в этой теме, понимаю следующим образом (буду обозначать коэффициент гомотетии новой буквой, чтобы не путать с диаметром и радиусом):

Если $\Phi$ - квадрируемая фигура со спрямляемой границей, то существует такое $\alpha>0$, что $S'(k)=L(k)$, где $S(k)$ и $L(k)$ - соответственно площадь и периметр фигуры $k\alpha\Phi$.

Но при этом параметр $k$ будет лишь пропорционален диаметру рассматриваемой фигуры $k\alpha\Phi$. Думаю, что параметр $k$ никогда не будет равен диаметру. Другими словами, для фигур единичного диаметра не будет $L=2S$.

А вот для фигур единичного радиуса (имеется в виду максимальный радиус вложенного круга) равенство $L=2S$ иногда выполняется. Любопытно выяснить, когда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
Длина периметра фигуры будет равна производной площади по параметру операции offset (в геометрическом моделировании это создание новой кривой, когда расстояние от образа до новой кривой постоянно). Если угловых точек на кривой ограничивающей фигуру счетное множество.

 Профиль  
                  
 
 Да, для выпуклых фигур
Сообщение25.05.2007, 16:06 


22/06/05
164
Zai писал(а):
Длина периметра фигуры будет равна производной площади по параметру операции offset (в геометрическом моделировании это создание новой кривой, когда расстояние от образа до новой кривой постоянно). Если угловых точек на кривой ограничивающей фигуру счетное множество.

Спасибо за сообщение. Слышал такую теорему (очень тесно связанную с Вашим утверждением): если $\Phi$ - выпуклое ограниченное множество, $K$ - единичный круг, $t>0$, то $\mu(\Phi+t K)=\mu(\Phi)+t P(\Phi) + t^2 \mu(K)$, где $P(\Phi)$ - периметр фигуры $\Phi$, $\mu$ - площадь фигуры. В задачнике
Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. — Теоремы и задачи функционального анализа"
это задача 276 (параграф "Топология, выпуклость и полунормы").

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 16:21 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Zai писал(а):
Длина периметра фигуры будет равна производной площади по параметру операции offset ...

А можно поподробней, что это означает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
Параметр операции offset это расстояние от исходной кривой до новой кривой. Если Ваша фигура выпуклый многоугольник то новый многоугольник будет составлен из пересечений линий, отстояших от старых линий на расстояние $\delta например с внешней стороны. Все компьютерные пакеты по геометрическому моделированию сложных деталей в технике имеют эту встроенную утилиту. В случае треугольника новая фигура будет подобна исходной, в случае четырехугольника не всегда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Егор писал(а):
Последнюю Вашу фразу, как и первое сообщение neo66 в этой теме, понимаю следующим образом (буду обозначать коэффициент гомотетии новой буквой, чтобы не путать с диаметром и радиусом):

Пусть у нас есть фигура $\Phi$, имеющая площадь $S$ и периметр $L$. Давайте попробуем подобрать нужный нам параметр. При гомотетии с коэффициентом $a$ имеем $S(a) = S a^2$ и $L(a) = L a$. Нам нужно $2 S(a) = L(a)$, давайте возьмем $a = \frac {L}{2S}$. Рассмотрим же $\Phi^* = \Phi(\frac{L}{2S})$. $L^* = \frac{L^2}{2S}$, $S^* = \frac{L^2}{4S}$, и нужное Вам свойство становится очевидным (при композиции гомотетий их коэффициенты перемножаются).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 22:30 


22/06/05
164
Zai писал(а):
Если Ваша фигура выпуклый многоугольник то новый многоугольник будет составлен из пересечений линий, отстояших от старых линий на расстояние $\delta$ например с внешней стороны. [...] В случае треугольника новая фигура будет подобна исходной, в случае четырехугольника не всегда.

Долго думал, нужно ли "скруглять" углы у новой фигуры, т. е. заменять их на дуги окружности. Теперь дошло, что Ваше утверждение о производной будет верным и без скругления (как Вы рассказали), и со скруглением (как в задачнике Кириллова и Гвишиани).
незваный гость писал(а):
Пусть у нас есть фигура $\Phi$, имеющая площадь $S$ и периметр $L$. Давайте попробуем подобрать нужный нам параметр. При гомотетии с коэффициентом $a$ имеем $S(a) = S a^2$ и $L(a) = L a$. Нам нужно $2 S(a) = L(a)$, давайте возьмем $a = \frac {L}{2S}$. Рассмотрим же $\Phi^* = \Phi(\frac{L}{2S})$. $L^* = \frac{L^2}{2S}$, $S^* = \frac{L^2}{4S}$, и нужное Вам свойство становится очевидным (при композиции гомотетий их коэффициенты перемножаются).

Спасибо (это было понятно). Теперь интересует другой вопрос: какой должна быть фигура $\Phi$, чтобы $S'(k)=L(k)$, где $S(k)$ и $L(k)$ - площадь и периметр фигуры $k\Phi$, и при этом чтобы параметр $k$ был радиусом фигуры $k\Phi$. (Почему именно радиусом? Потому что эта характеристика кажется самой естественной после диаметра, а диаметр не годится.) Проще говоря, описать класс таких фигур $\Phi$ с единичным радиусом, для которых $L=2S$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group