Победить Фарроу - 2

[_Ivana]

Если вам удобнее сравнивать различные методы интерполяции через построение фильтров и анализ их характеристик (АЧХ, ФЧХ, ГВЗ), я ничего не имею против. Но оценка качества метода путем расчета максимальной ошибки при интерполяции известной функции применяется ничуть не меньше. Я в своей работе проанализировал таким способом более десятка различных методов, графики очень наглядно характеризуют их точность. При желании вы можете часть из них проанализировать через построение соответствующих фильтров, например, рекомендую вышеупомянутый сплайн третьего порядка с первыми производными в краях интервала, рассчитанными не по трем, а по пяти точкам (в статье он обозначен как сплайн [1/5, 1/5]) - он требует для расчета почти столько же операций как Лагранж-Фарроу, при этом точнее последнего и вдобавок гладкий. Именно поэтому я его так и выделял в конце статьи и рассматривал подробно. И конечно, я построил фильтр и сравнил его АЧХ и ГВЗ с Лагранжем.
Все это очень интересно, и вы могли бы увидеть и проанализировать это еще полтора года назад, когда я только выложил на форум свои графики. Но в данной теме это уход в сторону - тут я хотел бы обратить внимание на факт аналитического совпадения сплайна, рассчитанного по определенным правилам с полиномом Лагранжа. И вытекающим из этого совпадения наличием неких общих расчетных конструкций для соседних интервалов интерполяции. Более того - я предполагаю (по аналогии), что существуют подобные правила построения сплайнов, тождественно равным Лагранжу пятого и более высоких порядков, которые я хочу поискать в ближайшее время.

[_Ivana]

Поискал, нашел. Возможно, для знающих людей это тривиальные давно изобретенные велосипеды, но мне показалось занятно.

Пусть мы имеем $6$ точек $s_1...s_6$ на равномерной сетке $x_1...x_6$. Строим сплайн по следующим условиям:
1) значения сплайна в точках $x_3, x_4$ совпадают с $s_3, s_4$
2) вторые производные сплайна в этих точках совпадают со вторыми производными в тех же точках полиномов Лагранжа четвертой степени, проходящих соответственно через группы точек $x_1...x_5$ и $x_2...x_6$
2) четвертые производные сплайна в этих точках совпадают с четвертыми производными в тех же точках полиномов Лагранжа четвертой степени, проходящих соответственно через группы точек $x_1...x_5$ и $x_2...x_6$ (тех же полиномов Лагранжа. что и в п. 2)

Утверждается, что этот сплайн совпадает с полиномом Лагранжа пятой степени, проходящем через исходные $6$ точек. Также найденная закономерность обобщается аналогичным образом на $8$ точек - надо оценить в краях интервала вторые, четвертые и шестые производные, и на любое четное количество точек. В предложенной ранее нотации это можно записать так:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ - & - \\ 5 & 5 \\ - & - \\ 5 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ - & - \\ 7 & 7 \\ - & - \\ 7 & 7 \\ - & - \\ 7 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

И т.д.... Что открывает неплохие возможности оптимизации расчета таких полиномов при интерполяции.