Разложить функцию в ряд Лорана и определить область сходимос

[Con-Serv]

Разложить в ряд Лорана по степеням я в кольце D и определить область сходимости ряда:

\[ \frac{1} {{\left( {z^2 - 9} \right)z^2 }},z_0 = 1,D:1 < \left| {z - 1} \right| < 2 \]

Прошу хотя бы начало, дальше думаю разберусь

[Brukvalub]

Для начала представьте дробь в виде суммы простейших дробей, а затем попробуйте воспользоваться формулой для суммы членов бесконечно убывающей геом. прогрессии.

[Con-Serv]

после замены z=w+1 получилось вот такое страшное выражение

\[ \frac{1} {{((w + 1)^2 - 9)(w + 1)^2 }} = \frac{1} {9}(\frac{1} {6}(\frac{1} {{w - 2}} - \frac{1} {{w + 4}}) - \frac{1} {{(w + 1)^2 }}) = \]

Что дальше делать и правильное разложение я сделал???

[Brukvalub]

Коэффициенты я не проверял, но про последнюю сумму я вам честно скажу - она расходится, так как модуль ее общего члена бежит к бесконечности, а это плохо. Последнее слагаемое нужно раскладывать по отрицательным степеням w.

[Con-Serv]

Что-то я не понял, но если раскладывать по отрицательным степеням последнее слагаемое, то это и будет главной частью ряда Лорана? А два других правильной?

[Brukvalub]

Да, в согласии с определением.

[Con-Serv]

НУ стало быть я уже решил этот номер? Все теперь зависит от правильности разложения? И еще вопрос: какая область сходимости?

[Brukvalub]

Нет, Вы еще не решили этот номер.
1. Необходимо самому проверить коэффициенты, просто приведя назад все дроби к общему знаменателю и сравнить результат с условием.
2.Необходимо переделать последний член разложения - я уже писал Вам об этом
3. На Ваш вопрос об области сходимости Вы после переделки должны ответить сами.

[Con-Serv]

НУ вроде с коэффициентами разобрался.
А с последним слагаемым получается вот так?

\[ \sum\limits_{n = - \infty }^{ - 1} {\left[ {( - 1)^n (n + 1)w^n } \right]} \]

[Brukvalub]

Представьте последнее слагаемое в виде:

\[\frac{{\frac{1}{{w^2 }}}}{{(1 + \frac{1}{w})^2 }}\]

, а далее воспользуйтесь своим разложением.

[Con-Serv]

Получилось вроде это

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {\frac{{( - 1)^n (n + 1)}} {{w^{n + 2} }}} \right]} \]

[Brukvalub]

Да.

[Con-Serv]

С преобразованием получается я разобрался с вашей помощью, а как же теперь выделять главную и правильную часть? (Извините за мою глупость, просто мы этого еще не проходили, а мне нужно это решить, а в методичке не могу разобраться)

[Brukvalub]

Нужно собрать в одну сумму все слагаемые с неотрицательными степенями w - получится правильная часть разложения. Ну а оставшаяся сумма, в которую войдут члены с отрицательными степенями w -это главная часть разложения ( см., например, http://www.exponenta.ru/educat/class/co ... theory.asp )

[Con-Serv]

И это брать из расчета моего кольца данного еще в условии?