a^n-b^n=(a-b)*(...???...)

[boriska]

Где-то раньше видел формулу

$a^n-b^n=(a-b)(...???...)$

А есть ли такая формула?

$a^n+b^n=(a+b)(...???...)$

[Urnwestek]

Если вместо $(...???...)$ должен стоять многочлен от $a,b$ то нет конечно же. А вы, кстати, понимаете почему ту формулу вверху вы могли где-то видеть?

[nnosipov]

boriska в сообщении #783699 писал(а):

А есть ли такая формула?

$a^n+b^n=(a+b)(...???...)$

Для нечётных $n$ есть.

[provincialka]

Волшебное заклинание: геометрическая прогрессия

[ewert]

boriska в сообщении #783699 писал(а):

Где-то раньше видел формулу

$a^n-b^n=(a-b)(...???...)$

Это (с практической точки зрения) есть просто стандартная, деццкая формула для конечной суммы геометрической прогрессии. Во всяком случае, следует сознавать, что это фактически одно и то же. А стоит в той формуле именно минус; тут уж увы.

[boriska]

Urnwestek в сообщении #783704 писал(а):

Если вместо $(...???...)$ должен стоять многочлен от $a,b$ то нет конечно же. А вы, кстати, понимаете почему ту формулу вверху вы могли где-то видеть?

Представлял, что многочлен от а и b, что же еще там может быть? Или это сарказм?) Причем многочлен степени $(n-1)$ по каждой из букв...вроде как.
Мог видеть частные случаи $a^1+b^1=a+b$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

-- 02.11.2013, 18:42 --

provincialka в сообщении #783706 писал(а):

Волшебное заклинание: геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия по $a$ или по $b$?

-- 02.11.2013, 18:45 --

А, кажется, понятно!!!!

$$\dfrac{a^n-b^n}{a-b}=b^{n-1}\left(\dfrac{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}{1-\left(\frac{a}{b}\right)}\right)=b^{n-1}\left(1+{\left(\frac{a}{b}\right)^1}+\left(\frac{a}{b}\right)^2+....+\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}\right)=b^{n-1}+ab^{n-2}+...+a^{n-1}$$

[Aritaborian]

Вам же было сказано:

nnosipov в сообщении #783705 писал(а):

Для нечётных $n-1$ есть.

Второй множитель — многочлен степени $n$ с единичными коэффициентами, плюсы чередуются с минусами. Пример: $a^7+b^7=(a+b) \left(a^6-a^5 b+a^4 b^2-a^3 b^3+a^2 b^4-a b^5+b^6\right)$

[provincialka]

А подставив вместо $b$ значение $-b$, можно получить вторую формулу.

[Aritaborian]

Упс, какой-то глюк движка или браузера. Не увидел ваше сообщение, boriska. А, ясно. Вы правили пост, поэтому и не увидел.

[Urnwestek]

boriska в сообщении #783723 писал(а):

Представлял, что многочлен от а и b, что же еще там может быть?

Нет, я о другом, доказательства через геом. прогрессию я не знал, кстати, спасибо provincialka и ewert за объяснения. Я сразу подумал так, представим, что $P(a) = a^n - b^n$ — многочлен от a, то есть $b^n$ — свободный член. Тогда очевидно, что $P(b) = 0$ то есть, $a^n - b^n$ делится на $a - b$. Поделив в столбик $a^n - b^n$ на $a - b$ и получим нужную нам формулу (вернее то, что должно стоять в скобках).