Математическая индукция для неравенств

[Yelinka]

Доброго времени суток!

Прошу помощи в доказательстве неравенства методом математической индукции.
Нужно доказать, что $ (n+1)^n \le n^{n+1} $ верно для любого $ n \ge 3 $
Примечание: нужно доказывать способом от $ n-1$ к n, а не от n к $n+1$
В качестве базы индукции берем $ n =3$, тогда получаем:
$ (3+1)^3 \le 3^{3+1} $, что верно.
Далее следует:
$(k+1)^k \le k^{k+1} $
$k = n-1 $
$n^{n-1} \le (n-1)^n $

Как дальше, не могу понять. Помогите, пожалуйста.

[bot]

Yelinka в сообщении #783461 писал(а):

Примечание: нужно доказывать способом от $ n-1$ к n, а не от n к $n+1$

Почему нужно? Как обозначить предыдущий и следующий - просто вопрос удобства.
Вам надо доказать импликацию $(n+1)^n\leqslant n^{n+1}\Rightarrow (n+2)^{n+1}\leqslant (n+1)^{n+2}$ или импликацию $n^{n-1}\leqslant (n-1)^{n}\Rightarrow (n+1)^{n}\leqslant n^{n+1}$. Вторая проще только технически.

[Yelinka]

Спасибо за ответ!
Нужно, т.к. в условии так было сказано)

[provincialka]

Yelinka в сообщении #783846 писал(а):

Нужно, т.к. в условии так было сказано)

Нет, это просто подсказка, чтобы облегчить вам жизнь. Не нужно. Но можно и удобно.

[megamix62]

bot в сообщении #783500 писал(а):

Yelinka в сообщении #783461 писал(а):

Примечание: нужно доказывать способом от $ n-1$ к n, а не от n к $n+1$

Почему нужно? Как обозначить предыдущий и следующий - просто вопрос удобства.
Вам надо доказать импликацию $(n+1)^n\leqslant n^{n+1}\Rightarrow (n+2)^{n+1}\leqslant (n+1)^{n+2}$ или импликацию $n^{n-1}\leqslant (n-1)^{n}\Rightarrow (n+1)^{n}\leqslant n^{n+1}$. Вторая проще только технически.

А при каком $K$ будет выполнятся следующее неравенство

$$(n+K)^n\leqslant n^{n+1}$$