2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическая индукция для неравенств
Сообщение02.11.2013, 00:03 


01/11/13
2
Доброго времени суток!

Прошу помощи в доказательстве неравенства методом математической индукции.
Нужно доказать, что $ (n+1)^n \le n^{n+1} $ верно для любого $ n \ge 3 $
Примечание: нужно доказывать способом от $ n-1$ к n, а не от n к $n+1$
В качестве базы индукции берем $ n =3$, тогда получаем:
$ (3+1)^3 \le 3^{3+1} $, что верно.
Далее следует:
$(k+1)^k \le k^{k+1} $
$k = n-1 $
$n^{n-1} \le (n-1)^n $

Как дальше, не могу понять. Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция для неравенств
Сообщение02.11.2013, 04:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Yelinka в сообщении #783461 писал(а):
Примечание: нужно доказывать способом от $ n-1$ к n, а не от n к $n+1$

Почему нужно? Как обозначить предыдущий и следующий - просто вопрос удобства.
Вам надо доказать импликацию $(n+1)^n\leqslant n^{n+1}\Rightarrow (n+2)^{n+1}\leqslant (n+1)^{n+2}$ или импликацию $n^{n-1}\leqslant (n-1)^{n}\Rightarrow (n+1)^{n}\leqslant n^{n+1}$. Вторая проще только технически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция для неравенств
Сообщение03.11.2013, 02:45 


01/11/13
2
Спасибо за ответ!
Нужно, т.к. в условии так было сказано)

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция для неравенств
Сообщение03.11.2013, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Yelinka в сообщении #783846 писал(а):
Нужно, т.к. в условии так было сказано)
Нет, это просто подсказка, чтобы облегчить вам жизнь. Не нужно. Но можно и удобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция для неравенств
Сообщение06.11.2013, 10:07 


29/05/12
239
bot в сообщении #783500 писал(а):
Yelinka в сообщении #783461 писал(а):
Примечание: нужно доказывать способом от $ n-1$ к n, а не от n к $n+1$

Почему нужно? Как обозначить предыдущий и следующий - просто вопрос удобства.
Вам надо доказать импликацию $(n+1)^n\leqslant n^{n+1}\Rightarrow (n+2)^{n+1}\leqslant (n+1)^{n+2}$ или импликацию $n^{n-1}\leqslant (n-1)^{n}\Rightarrow (n+1)^{n}\leqslant n^{n+1}$. Вторая проще только технически.


А при каком $K$ будет выполнятся следующее неравенство

$$(n+K)^n\leqslant n^{n+1}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group