А пределы не дают нам спать..

[MestnyBomzh]

Добрый вечер!Прошу помощи с такой задачей: Найдите предел $\lim_{x\to1}\frac{\sin(\sin(\pi\cdot x))}{\ln(1+\ln(x))}$
Я думаю,что тут следует домножить числитель и знаменатель на $\sin(\pi\cdot x)$,потом воспользоваться формулой предела умножения и получить более простой предел: $\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi\cdot x)}{\ln(1+\ln(x))}$ Подскажите,что дальше делать..

[Otta]

Можно было домножить. Можно было не домножать. Сразу его эквивалентностями.

[Urnwestek]

По правилу Лопиталя можно.

[provincialka]

Urnwestek в сообщении #783381 писал(а):

По правилу Лопиталя можно.

Нудно. Производные будут корявые. "Внешний слой" функций можно убрать по эквивалентности. Внутри то же самое, особенно если перейти к переменной $t = x-1$ .

[MestnyBomzh]

Я правильно понимаю,что по эквивалентности мы получаем $\lim_{x\to 1} \frac{\pi\cdot x}{\ln(x)}$? А это

[provincialka]

В числителе неправильно, так как $\pi x$ не стремится к 0. К нулю стремится $t = x -1$

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #783391 писал(а):

В числителе неправильно, так как $\pi x$ не стремится к 0. К нулю стремится $t = x -1$

Спасибо!Разобрался!С помощью замены в числителе получил $\frac{-\sin(\pi\cdot t)}{\ln(t+1)}=-\frac{\pi\cdot t}{t}=-\pi$

[ewert]

provincialka в сообщении #783382 писал(а):

особенно если перейти к переменной $t = x-1$ .

Только не "особенно", а "непременно". А насчёт внешнего слоя -- безусловно (и, естественно, лучше до замены).

[provincialka]

ewert в сообщении #783400 писал(а):

Только не "особенно", а "непременно".

Ну, если наш автор "продвинутый", он может не вводить явно новую переменную, а, например. написать, $\sin(\pi x) = -\sin(\pi(x-1))$, но это уже извращение.