Остатки и гири

[Ktina]

Одно и то же натуральное число $k$ поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма остатков оказалось равна 39.
Можно ли набор гирь с массами $1, 2, \dots , k$ грамм разложить на три равные по массе кучки?

[vorvalm]

$k=-13$

[Ktina]

vorvalm в сообщении #783231 писал(а):

$k=-13$

Натуральное.

[Sender]

Ktina в сообщении #783234 писал(а):

Натуральное.

37.

[Ktina]

Sender в сообщении #783242 писал(а):

37.

Что "37"?

[Cash]

Sender в сообщении #783242 писал(а):

37.

$37 \cdot 38$ на 3 не делится...

[Sender]

К примеру, при $k=37$ набор гирь с массами $1, 2, \dots , k$ грамм невозможно разложить на три равные по массе кучки, при этом сумма остатков от деления $k$ на $3,\;18$ и $48$ составляет $39$.

[kknop]

Странноватая постановка вопроса.
Ну да, из условия нетрудно получить, что k=28 или k=37. Поскольку k(k+1)/2 в обоих случаях не кратно 3, то гири на три равные кучки не делятся.

И это - все?

[ewert]

Если $k$ или $k+1$ делится на три, то первый остаток чётный. А сумма двух других остатков в любом случае чётная.

[Cash]

kknop в сообщении #783262 писал(а):

Ну да, из условия нетрудно получить, что k=28 или k=37.

А еще 70, 79, 121, 130, 172, 181 и т.д.

[kknop]

Cash в сообщении #783268 писал(а):

kknop в сообщении #783262 писал(а):

Ну да, из условия нетрудно получить, что k=28 или k=37.

А еще 70, 79, 121, 130, 172, 181 и т.д.

Да, вот пока ходил кофе попить, тоже уже сообразил, что решений-то бесконечно много.
Тогда так: $k mod 3 = 1$, потому что $(k-3a)+(k-18b)+(k-48c)=39$, откуда $k-3a = 39+18b+48c-2k$ - нечетно.
Ну а из этого сравнения уже следует, что $k(k+1)/2$ не кратно 3.

[vorvalm]

Я извиняюсь, упустил натуральность.
Ну тогда это $k=131$
Задачка-то уж очень простая.

[ewert]

vorvalm в сообщении #783306 писал(а):

Ну тогда это $k=131$
Задачка-то уж очень простая.

Очень простая. Условия как-то даже провокационно избыточны.

Но всёже не настолько простая. Что такое 131?

[vorvalm]

Интуиция...

[Ktina]

ewert в сообщении #783310 писал(а):

Очень простая. Условия как-то даже провокационно избыточны.
Но всёже не настолько простая.

На самом деле это две задачи, "спаянные" в одну. Первая - с Ленинградки, там нужно по сумме трёх остатков однозначно определить остаток при делении на 3. А вторая -- вот: http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1157554&mode=1

-- 01.11.2013, 16:46 --

kknop в сообщении #783262 писал(а):

Странноватая постановка вопроса.
Ну да, из условия нетрудно получить, что k=28 или k=37.

Меня опередили