Определение предела по Гейне

[boriska]

Можно как-то через это определение прогнать какую-нибудь функцию, чтобы разобраться на конкретном примере?

$$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$$

Все значки, которые входят в определение предела функции -- понятны. Определение предела последовательности -- тоже понятно...

[iifat]

Ну, начните, например, с $f(x)=x$

[gris]

Теорема о пределе по Гейне чаще применяется для доказательства не существования предела у функции. Особенно это удобно в функциях многих переменных.

[iifat]

Хм. Ну, тогда следующей пусть будет $\sin\frac1x$ при $x\rightarrow0$

[robot80]

Ну, почему же, только для не существования?
Берём последовательность $x_n = x_0 +\alpha_n$. Её предел - $x_0$ Подставляем эту сумму в заданную функцию, преобразовываем выражение. Если предел у функции в точке существует, то должно получиться выражение $f(x_n) = A + \beta_n$.
Например, $f(x) = x^2, x_0 = 2, x_n = 2 + \alpha_n, f(x_n) = (2 + \alpha_n)^2 = 4 + 4\alpha_n +\alpha_n^2 = 4 + \beta_n$.
Следовательно, предел равен 4.
Другое дело, что
1) для доказательства существования преобразования будут относительно сложными.
2) необходимо как-то предварительно доказать правила действия с бесконечно малыми последовательностями.
3) Для доказательства не существования обходятся логическими умозаключениями.

[boriska]

Спасибо!