2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение31.10.2013, 23:39 
Аватара пользователя
Добрый вечер. Я опять с просьбой о помощи.
Необходимо найти сумму ряда
$\sum\limits_{n=1}^\infty(-x)^{n-1}(1+\frac{1}{n})$

Область сходимости нашёл,
$-1<x<1$

а вот дальше не знаю что делать.

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение31.10.2013, 23:53 
На сумму двух рядов разбейте. Один считается сразу же, второй - чуть позже.

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение01.11.2013, 00:05 
Аватара пользователя
А есть какая-нибудь стандартная схема нахождения сумм рядов — пошагово; или обязательно каждый раз нужен индивидуальный подход. В частности всегда ли надо находить интервал сходимости ряда; и определять как он сходится абсолютно или нет?

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение01.11.2013, 00:12 
Аватара пользователя
chesas в сообщении #783022 писал(а):
А есть какая-нибудь стандартная схема нахождения сумм рядов — пошагово; или обязательно каждый раз нужен индивидуальный подход.
Вряд ли. Только для простых примеров.
chesas в сообщении #783022 писал(а):
В частности всегда ли надо находить интервал сходимости ряда; и определять как он сходится абсолютно или нет?
Не обязательно. Хотя область сходимости все равно потом нужна. Ведь сумма ряда существует только в ней. А насчет абсолютной сходимости: степенной ряд сходится абсолютно во внутренних точках области сходимости.

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение01.11.2013, 01:12 
Аватара пользователя
Спасибо, за подсказку. А ведь, пожалуй, можно и не разбивать сумму на две. Исправьте, если я не прав.
Ведь данный ряд — это ряд составленый из членов геометрической прогрессии с первым членом
$a=\frac{1+n}{n}$

и знаменателем
$q=(-x)$

И при
$\mid{x}\mid<1$

как известно сумма геометрической прогрессии:
$S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac a{1-q}=\frac{1+n}{n(1+x)}$

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение01.11.2013, 01:31 
Нет, не правильно.
Получилось что ответ зависит от $n$ чего не должно быть.
Весь ряд не является геометрической прогрессией

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение05.11.2013, 22:17 
Аватара пользователя
Спасибо большое.
Ну конечно же, это не геометрическая прогрессия.
Ибо, если выписать несколько членов ряда, то сразу видно, что никакого первого члена(повторяющегося) нет. Ведь коэффициент не зависящий от x, всё время разный
$\sum\limits_{n=1}^\infty(-x)^{n-1}(1+\frac{1}{n})=2(-x)^0+\frac{3}{2}(-x)^1+\frac{4}{3}(-x)^2+...+\frac{n+1}{n}(-x)^{n-1}+...$

Следовательно, сумму ряда S всё же прийдётся разбить на две S1 и S2. Т.е.
$S=S1+S2$

$\sum\limits_{n=1}^\infty(-x)^{n-1}(1+\frac{1}{n})=\sum\limits_{n=1}^\infty(-x)^{n-1}+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(-x)^{n-1}$

$S1=\lim\limits_{n\to\infty}S1_n$

$S2=\lim\limits_{n\to\infty}S2_n$


-- 06.11.2013, 00:10 --

Ряд из первой суммы, представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом равным единице и знаменателем -x
$\sum\limits_{n=1}^\infty(-x)^{n-1}=1+(-x)^1+(-x)^2+...+(-x)^{n-1}+...$

При |-x|<1
$S1_n=1+(-x)^1+(-x)^2+...+(-x)^{n-1}=\frac{1-(-x)^n}{1-(-x)}$

$\lim\limits_{n\to\infty}S1_n=\frac1{1-x}$

Следовательно
$S1=\frac1{1-x}$

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение05.11.2013, 23:37 
Аватара пользователя
Конечно же
$S1=\frac1{1+x}$

А вот, что со второй суммой делать, пока не знаю.

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение05.11.2013, 23:50 
Заметить, что слагаемые похожи не то на чью-то производную, не то наоборот.

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение13.11.2013, 00:44 
Аватара пользователя
Исправьте, если я не прав.
Если рассмотреть ряд из второй суммы
$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(-x)^{n-1}=1+\frac{1}{2}(-x)+\frac{1}{3}(-x)^{2}+\frac{1}{4}(-x)^{3}+\frac{1}{5}(-x)^{4}+...+\frac{1}{n}(-x)^{n-1}+...$

то можно заметить, что он образован из почленного интегрирования геометрической прогрессии, с первым членом (-1) и знаменателем (-x)
$(-1)+(-1)(-x)+(-1)(-x)^2+(-1)(-x)^3+(-1)(-x)^4+...+(-1)(-x)^n+...=\frac{(-1)}{1-(-x)}=-\frac{1}{1+x}$

после деления каждого члена на (-x)
$\frac{1}{-x}((-x)+\frac{1}{2}(-x)^2+\frac{1}{3}(-x)^{3}+\frac{1}{4}(-x)^{4}+...+\frac{1}{n}(-x)^{n}+...)=-\frac{1}{x}\int\limits_{-1}^1-\frac{1}{1+x}dx$

...а тут не знаю, можно ли интегрировать с пределами, которые не входят в область существования?

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение13.11.2013, 01:10 
Аватара пользователя
А зачем вам такие пределы? В ответе же $x$ должен остаться. Лучше интегрируйте от 0 до $x$ по $dt$

Кстати, вы видели когда-нибудь стандартные разложения в ряд Тейлора? В частности, для логарифма?

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение13.11.2013, 21:27 
Аватара пользователя
А я разве не обязан ставить пределы области сходимости данного ряда?
По поводу последнего вопроса, могу сказать да. Но было это давненько, лет этак тридцать назад. Когда-то довольно не плохо разбирался, а вот сейчас приходится всё вспоминать — подзабыл.

-- 13.11.2013, 22:30 --

Вы хотите сказать, что можно взять неопределённый интеграл?

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение13.11.2013, 21:35 
Аватара пользователя
Можно и неопределенный, но я предложила другой: с переменным верхним пределом.
Посмотрите в справочнике ряд для логарифма, многое прояснится.

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение13.11.2013, 21:57 
$\frac{1}{-x}((-x)+\frac{1}{2}(-x)^2+\frac{1}{3}(-x)^{3}+\frac{1}{4}(-x)^{4}+...+\frac{1}{n}(-x)^{n}+...)=-\frac{1}{x}\int\limits_{-1}^1-\frac{1}{1+x}dx$ - это неверно.
1 из пределов интегрирования должен быть переменным(иначе этот интеграл просто число), а второй можно выбирать произвольно(от этого измениться только коэффициент при $x^0$)

 
 
 
 Re: Сумма функционального, степенного ряда
Сообщение13.11.2013, 23:29 
Аватара пользователя
Спасибо всем за помощь. Кажется разобрался, хотя и с трудом.
Интегрируем в пределах от нуля до x
$\frac{1}{x}\int\limits_{0}^x\frac{1}{1+x}dx=\left.\frac{1}{x}\ln|1+x|\right|_0^x$

а при
$|x|<1$

получим
$\left.\frac{1}{x}\ln(1+x)\с\right|_0^x=\frac{\ln(1+x)}{x}$

И окончательно, сумма исходного ряда
$S=\frac{1}{1+x}+\frac{\ln(1+x)}{x}$

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group