матричные игры с нулевой суммой

[eugrita]

1)термин игра с нулевой суммой означает что выигрыш/проигрыш перераспределяется между игроками а не идет из дополнительного источника. Но означает ли это что платежная матрица может быть любая? В математике - да, но в жизни если например все элементы платежной матрицы положительны, 2-й игрок будет всегда проигрывать .Стоит ли играть ему в заведомо проигрышную игру.
Наверное более реальные требования к платежной матрице наличие отрицательных элементов в каждой строке и каждом столбце
2)оптимальная стратегия 1 и 2 игрока $x^*_1,x^*_2$ и
$y^*_1,y^*_2$ это вероятности выбора одного из возможных вариантов хода. Гарантирует ли система уравнений из которых находится оптимальные стратегии выполнение условий $0 \le x^*_i \le 1$
$0 \le y^*_j \le 1$
В частности формулы для игры 2x2
$x^*_1=\frac{a_{22}-a_{21}}{a_{11}-a_{12}-a_{21}+a_{22}}$ и т.п.
3)основной результат теории в случае отсутствия седловой точки - наличие оптимальной смешанной стратегии получен в предположении, что 2 игрок знает об очередном ходе 1-го игрока? Т.е его стратегия сильно зависит от выбора 1 игрока? Тогда возможны варианты игры когда не знает или наоборот? Или другие стратегии 2 игрока (не оптимальные) могут не зависить от знания хода 1 игрока - пессимистическая по Севиджу и проч?

[provincialka]

eugrita в сообщении #782976 писал(а):

3)основной результат теории в случае отсутствия седловой точки - наличие оптимальной смешанной стратегии получен в предположении, что 2 игрок знает об очередном ходе 1-го игрока? Т.е. его стратегия сильно зависит от выбора 1 игрока?

Нет, такого предположения не делается. Если бы мы знали ход соперника, не было бы смысла в стохастической стратегии, мы смогли бы выбирать детерминировано. Достаточно знать его таблицу выигрышей. А ее мы знаем, если знаем свою.

-- 31.10.2013, 23:12 --

eugrita в сообщении #782976 писал(а):

Стоит ли играть ему в заведомо проигрышную игру.

Это если у вас спрашивают - играть или не играть. Есть ведь и другие ситуации: безработица, плен, война. Тут уж приходится выбирать меньшее из зол.

[eugrita]

Собственно на 2й свой вопрос нашел ответ. цена игры -
$v=\frac{1}{x^*_1+x^*_2}$
где $x^*_1, x^*_2$ решения задачи линейного программирования при неотрицательных x, т.е получаем $v>0$
оптимальные стратегии $p_i=vx_i$ т.е $p_1,p_2$
неотрицательны и сумма=1 -т.е. это действительно вероятности
Я думаю, если писать учебную игровую программу матричной игры 2x2 для школьников или людей плохо знающих теорию, надо придерживаться следующих требований:
1)Ввод матрицы.
Если элементы допускают седловую точку то этот элемент =0, т.е.$v=0$
Если не будет седловой точки, то цена игры найденная при смешанных стратегиях тоже должна быть=0, т.е. для 2x2 означает $|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$
c учетом требования выше разных знаков в каждом стоке столбце это
означают элементы главной диагонали одного знака а побочной - другого
(Правда непонятно, по теории цена игры больше 0 а я упорно хочу ее сделать равной 0)
2)Функция1 – интерактивная игра без знания хода. Пользователь играет вторым. Компьютер играет по оптимальной смешанной стратегии. Результат видит после сделанного хода.
3) Функция2 – интерактивная игра без знания хода. Пользователь играет вторым. Компьютер играет по адаптивной стратегии, т.е. на основе предыдущих ходов оценивает частоты выбора пользователем 1 и 2 столбца
$y_1(k),y_2(k)$ где к -количество сделанных пар ходов.
Программа решает задачу поиска оптимальной стратегии, максимизирующей свой выигрыш считая полученные частоты - оценками вероятностей стратегии пользователя

[eugrita]

Вот сделаю программу, можно создавать лохотрон.
Провинциалка, назначаю вас топ-менеджером проекта. Кроме этой программули у меня еще есть программа игры в камушки (та самая что ЕГЭ по информатике, задача С3).
Надо зашить ее в игровой автомат, вначале игры пользователь вносит в автомат некую сумму и начинает игру. И может прекратить когда хочет или когда проиграется. Жаль только что эти игры не зрелищны а все потому что мне не интересно создавать стрелялки-погони которые большинству интересны. А фиг-ли от математика требовать дизайна - это других забота.