Ассоциативность операции

[TopLalka]

Здравствуйте. Я тут не могу справиться с одной задачей.
Пусть M - множество вещественных чисел, модуль которых меньше единицы. Определим на нем операцию $\oplus$.
Если $-1<a+b<1$, то $a \oplus b = a + b$.
Если $a+b \ge 1$, то $a \oplus b = a + b -1 $.
Если $a + b \le -1$, то $a \oplus b = a + b + 1$.

Как проще всего доказать ассоциативность этой операции, не разбирая кучу случаев?
Нетрудно показать, что $(a \oplus b) \oplus c$ и $a \oplus (b \oplus c)$ либо равны, либо отличаются на единицу. Например, используя тот факт, что если $x+y \ge 0$, то $a \oplus b = \{a + b\}$, а если $x + y < 0 $, то $x \oplus y = \{x + y\} - 1$. Или, что $a \oplus b \equiv_1 a + b$. Может можно как-то легко показать, что они имеют одинаковый знак?

[Urnwestek]

$(0.5 \oplus 0.5) \oplus -0.6 = 0 \oplus -0.6 = -0.6$
$0.5 \oplus (0.5 \oplus -0.6) = 0.5 \oplus -0.1 = 0.4$

[TopLalka]

Вот это поворот Видимо какая-то ошибка в задачнике.
Urnwestek, спасибо большое.

[bot]

Можно так:
Если $-1\leqslant a+b<1$, то $a \oplus b = a + b$
Если $a+b \geqslant 1$, то $a \oplus b = a + b - 2 $
Если $a + b < -1$, то $a \oplus b = a + b + 2$

Короче - это будет сложение по модулю 2.