интеграл в полярной системе координат

[randy]

С помощью перехода к полярным координатам найти интеграл

$$\int\int(x+5y)dxdy$$

по области $D = A\setminus B$, где $ A = \{ (x,y) : x^2 + y^2 + 22 \le 2y - 10x\}, B = \{(x,y) : x \le -5, y \ge 1 \}$.

что это за выражение области через знак \?
после перехода к полярной СК $A=r^2-2r\sin \varphi+10r\cos \varphi+22 \le 0$
$B: r\cos\varphi \le -5, r\sin\varphi \ge 1$
В области $A$ похоже надо полный квадрат выделять?

[provincialka]

Вы как знак $\setminus$ набирали? Он ведь так и называется - "минус для множеств". Это вычитание множеств.
Первое соотношение задает круг. Второе - те части, которые надо от него отрезать.

randy в сообщении #781858 писал(а):

В области $A$ похоже надо полный квадрат выделять?

не в области (это все же круг), а в уравнении.

[gris]

Вы же сами закодировали этот знак $\setminus$. Это разность множеств. То есть из первого множества вырезается четвертушка.
Вообще тут надо брать сдвинутые полярные координаты. В центр области $A$. И всё там очень хорошо должно получиться. Про якобиан не забудьте.

[randy]

provincialka в сообщении #781866 писал(а):

Вы как знак $\setminus$ набирали? Он ведь так и называется - "минус для множеств". Это вычитание множеств.
Первое соотношение задает круг. Второе - те части, которые надо от него отрезать.

randy в сообщении #781858 писал(а):

В области $A$ похоже надо полный квадрат выделять?

не в области (это все же круг), а в уравнении.

а как этот полный квадрат выделить? две тригонометрические функции мешают вроде

[Otta]

Полные квадраты надо выделять до перехода к полярным координатам. А то в итоге и не знаете, какую область рисовать. А там, может, и полярные координаты не понадобятся. Или понадобятся, но не в таком виде.

[randy]

Otta в сообщении #781911 писал(а):

Полные квадраты надо выделять до перехода к полярным координатам. А то в итоге и не знаете, какую область рисовать. А там, может, и полярные координаты не понадобятся. Или понадобятся, но не в таком виде.

после выделения получаются такое уравнение
$(y-1)^2 \le -((x+5)^2-4)$
как это расценивать?

[provincialka]

А зачем на другую сторону $x$ перенесли? Это уравнение окружности, и в неявном виде оно выглядит гораздо лучше.

[randy]

$(y-1)^2+(x+5)^2 \le 4$
$(r\sin\varphi-1)^2+(r\cos\varphi+5)^2 \le 4$
такие упрощения ни к чему не приводят...

[provincialka]

Вы не то переводите в полярные координаты. Слушайте, вы что, заочник? Никаких решенных примеров не видели? Думаю, на эту тему есть много литературы.
Ладно, немного подскажу. Можно, например, сделать так: $x+5 = r\cos\varphi; y-1 = r\sin\varphi$

[randy]

хорошо, $(r\cos \varphi)^2+(r\sin \varphi)^2 \le 4$ => $r^2 \le 4$ раз $r$ положительна, значит $r \in [0;2]$
область B $r\cos \varphi \le 0$ => $\cos \varphi \le 0$
$r\sin \varphi \ge 0$ => $\sin \varphi \ge 0$
из двух условий находим область изменения $\varphi \in [2\pi;7/2 \pi]$
Тогда ищем двойной интеграл $\int_{\pi/2}^{2\pi} d\varphi \int_0^{2} (r\cos \varphi - 4 +5r\sin \varphi)rdr=32/3-12\pi$
а в ответе написано $32/3$

[provincialka]

randy в сообщении #784255 писал(а):

$\varphi \in [2\pi;7/2 \pi]$
Тогда ищем двойной интеграл $\int_{\pi/2}^{2\pi} d\varphi \int_0^{2} (r\cos \varphi - 4 +5r\sin \varphi)rdr=32/3-12\pi$

Пределы в двух записях не совпадают (и в обоих случаях неверные). И зачем так сложно? Разве нельзя взять просто вторую четверть?

[randy]

а разве эта самая вторая четверть не вырезается? то есть из области $A$ (круг) вырезается область $B$ (вторая четверть) и по оставшимся 3 четвертям идет интегрирование? $\varphi \in [\pi;\frac {5\pi}{2}]$

[provincialka]

А, да, я забыла, вырезается. Но все равно, почему у вас разные пределы. Уже третий промежуток! Теперь, вроде, верный. Пересчитали интеграл?

[randy]

Пересчитал, но в ответе все равно остается часть с $\pi$. Этого быть не должно(

[provincialka]

Заставил-таки считать! Впрочем, ошибка сразу "вылезает", там под интегралом четверки быть не должно, свободный член сокращается.
Вам бы надо было до всяких полярных координат сделать замену $u=x+5,v=y-1$, тогда подынтегральная функция равна $u-5+5(v+1)=u+5v$. И области в этих координатах хорошо записываются.