Изоморфизм между полными упорядоченными полями

[TopLalka]

Здравствуйте.
Подскажите, как показать, что любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой? (24 задача из 2 параграфа 2 главы Зорича.)

[Urnwestek]

Ну так и постройте изоморфизм явно, сначала между целыми, потом между рациональными, а потом по полноте...

-- 28.10.2013, 20:50 --

В том смысле что, если есть линейные упорядоченные поля $\mathbb{A}_1$ и $\mathbb{A}_2$ то сразу можно произоморфить

$$1_1 \to 1_2$$

$$1_1+1_1 \to 1_2+1_2$$

$$1_1+1_1+1_1 \to 1_2+1_2+1_2$$

и т.д.

[TopLalka]

Urnwestek в сообщении #781502 писал(а):

В том смысле что, если есть линейные упорядоченные поля $\mathbb{A}_1$ и $\mathbb{A}_2$ то сразу можно произоморфить

$$1_1 \to 1_2$$

$$1_1+1_1 \to 1_2+1_2$$

$$1_1+1_1+1_1 \to 1_2+1_2+1_2$$

и т.д.

Вот непонятно как сделать это и т.д.
Согласен, что если получить изоморфизм между подмножествами натуральных чисел, то дальше легко.

[Urnwestek]

По индукции же. (:

-- 28.10.2013, 21:12 --

Кстати, я сейчас вспомнил, что изоморфность любых двух систем натуральных чисел (в смысле Пеано) очень хорошо и с мельчайшими подробностями доказывалась в Иванове "Элементарная математика", там 4 пункт 1 главы. Так что можете проделать это там, потом проверить выполнимость аксиом Пеано для подмножества $\{1,1+1,1+1+1,...\}$ а потом сослаться на результат, дескать натуральные числа, они-то одни.

[TopLalka]

Urnwestek в сообщении #781507 писал(а):

По индукции же. (:

Не могли бы Вы явно привести конструкцию? Считается, что еще неизвестно про натуральные числа. Как раз через полное упорядоченное поле вводят действительные числа, и натуральные числа - это наименьшее индуктивное подмножество содержащее единицу. То есть пока что имеется много разных систем действительных чисел и соответственно систем натуральных чисел. После доказательства того, что любые два таких поля изоморфны, мы сможем сказать, что такое действительные числа, а значит и что такое натуральные числа.

Спасибо за литературу. Буду читать. Она у меня даже в бумажном формате есть)

Может быть как наименьшее бинарное отношение $R$ между $R_1$ и $R_2$, такое что
$(1_1, 1_2) \in R$
$(n_1, n_2) \in R \to (n_1+1_1, n_2+1_2) \in R$?

[Urnwestek]

Я, если честно, не совсем понимаю что вас смущает, тождество:
$\varphi (n+1_1) = \varphi(n)+1_2$
казалось бы однозначно определяет образ $\varphi$ на элементе $n+1_1$.

Доказательство того, что $\varphi$ — биекция тоже можно провести по индукции.

[TopLalka]

Urnwestek в сообщении #781525 писал(а):

Я, если честно, не совсем понимаю что вас смущает, тождество:
$\varphi (n+1_1) = \varphi(n)+1_2$
казалось бы однозначно определяет образ $\varphi$ на элементе $n+1_1$.

Как доказать существование такой функции?

[Urnwestek]

Какие-то вы в совсем теоретико-множественные дебри залезаете, не "алгебраично". (:
Не хочу вас сбивать с толку, сам я на таком уровне формализма доказательство не проводил, но мне кажется, что ваша конструкция:

TopLalka в сообщении #781520 писал(а):

$(1_1, 1_2) \in R$
$(n_1, n_2) \in R \to (n_1+1_1, n_2+1_2) \in R$?

вполне адекватна. Только придётся проводить доп. доказательство того, что это функция, что она определена на всём $\mathbb{N}$, что для неё выполняется как раз таки то самое $\varphi (n+1_1) = \varphi(n)+1_2$ и что это биекция. Если мы оба заблуждаемся, то, думаю, местные умные люди нас поправят. (:

[Someone]

Метод полной математической индукции в помощь.
В арифметике этот метод вводится специальной аксиомой (или схемой аксиом, если речь идёт о формальной теории в логике первого порядка), а в теории множеств является теоремой.