Вырожденность матриц

[abc_qmost]

drob писал(а):

abc_qmost писал(а):

Для начала почитайте книгу Дж. Форсайта "Машинные методы математических вычислений". .

И какой там ответ на поставленный вопрос? Если Вы думаете, что сингулярные числа помогают судить об обращаемости матрицы, то Вы ошибаетесь. Если взять диагональную матицу 2х2 со значениями 2^100 , 2^-200 , то судя по сингулярным числам ее вообще не стоит решать, хотя она решается с абсолютной точностью . Ваши советы воспользоваться сингулярным анализом, как я выше указал, ограниченной годности.

Дело в том что некоторые утверждения подходят действительные числа, кои являются математической абстракцией, местами под фиксированную точку, а местами под плавающую. Понять какая аксиоматика имеется ввиду действительно непросто. Но думаю Вам следует вернутся к упомянутой книге и перечитать ее более вдумчиво

Думаю, что Вам необходимо сменить профессию. На летающих тарелках Вы быстро сделаете блестящую карьеру.

[нг]

abc_qmost
Воздерживайтесь от переходов на личности

[vasionok]

Fgolm писал(а):

А вопрос в основном состоит в том, как интерпретировать понятие вырожденности матрицы с т.з. вычислений на ЭВМ.

имеет смысл считать матрицу вырожденной с точки зрения вычислений на ЭВМ, если её число обусловленности больше чем единица делить на машинное эпсилон, скажем 10^16 для двоичной точности. В таком случае при умножении матрицы на вектор (или при решении СЛАУ) при наличии ошибок округления (например, если входные данные округлены до разрядности ЭВМ) невозможно получить ни одного точного знака в ответе.

drob писал(а):

Если Вы думаете, что сингулярные числа помогают судить об обращаемости матрицы, то Вы ошибаетесь. Если взять диагональную матицу 2х2 со значениями 2^100 , 2^-200 , то судя по сингулярным числам ее вообще не стоит решать, хотя она решается с абсолютной точностью.

да, но относительное возмущение правой части всего лишь порядка 2^-300 даст относительную ошибку решения порядка 100%.

[abc_qmost]

vasionok писал(а):

drob писал(а):

Если Вы думаете, что сингулярные числа помогают судить об обращаемости матрицы, то Вы ошибаетесь. Если взять диагональную матицу 2х2 со значениями 2^100 , 2^-200 , то судя по сингулярным числам ее вообще не стоит решать, хотя она решается с абсолютной точностью.

да, но относительное возмущение правой части всего лишь порядка 2^-300 даст относительную ошибку решения порядка 100%.

Я не понял, о какой правой части идет речь, т.к. вопрос относится к обращаемости м-ц. Я предполагал использование Мура - Пенроуза м-цы, псевдообратной для исходной. Если исходная м-ца - квадратная и невырожденная, то м-ца Мура - Пенроуза совпадает с обратной. Если исходная м-ца диагональная и все ее диагональные элементы отличны от нуля, то м-ца Мура - Пенроуза всегда совпадает с обратной для исходной диагональной м-цы. Поэтому я так резко и отреагировал на поучения drob.

[Fgolm]

vasionok писал(а):

имеет смысл считать матрицу вырожденной с точки зрения вычислений на ЭВМ, если её число обусловленности больше чем единица делить на машинное эпсилон, скажем 10^16 для двоичной точности. В таком случае при умножении матрицы на вектор (или при решении СЛАУ) при наличии ошибок округления (например, если входные данные округлены до разрядности ЭВМ) невозможно получить ни одного точного знака в ответе.

В данном случае это усложняет задачу. Я привел пример СЛАУ, уравнения которой находятся на "грани" линейной зависимости. Если возникнет крайний случай, и уравнения действительно станут линенйно зависимыми, то матрица по определению станет вырожденной. Целесообразно ли в этом случае считать число обусловленности чтобы это показать?

[abc_qmost]

Fgolm писал(а):

vasionok писал(а):

имеет смысл считать матрицу вырожденной с точки зрения вычислений на ЭВМ, если её число обусловленности больше чем единица делить на машинное эпсилон, скажем 10^16 для двоичной точности. В таком случае при умножении матрицы на вектор (или при решении СЛАУ) при наличии ошибок округления (например, если входные данные округлены до разрядности ЭВМ) невозможно получить ни одного точного знака в ответе.

В данном случае это усложняет задачу. Я привел пример СЛАУ, уравнения которой находятся на "грани" линейной зависимости. Если возникнет крайний случай, и уравнения действительно станут линенйно зависимыми, то матрица по определению станет вырожденной. Целесообразно ли в этом случае считать число обусловленности чтобы это показать?

При нахождении собственных векторов методом обратной итер. матрица с точки зрения "железа" является вырожденной.

[Fgolm]

abc_qmost писал(а):

При нахождении собственных векторов методом обратной итер. матрица с точки зрения "железа" является вырожденной.

А с точки зрения классической термодинамики такого явления как ферромагнетизм вообще не существует.

[abc_qmost]

Fgolm писал(а):

abc_qmost писал(а):

При нахождении собственных векторов методом обратной итер. матрица с точки зрения "железа" является вырожденной.

А с точки зрения классической термодинамики такого явления как ферромагнетизм вообще не существует.

Для человека, который занимается численными алгоритмами профессионально, понятно, о чем я говорю.

[drob]

Fgolm писал(а):

vasionok писал(а):

имеет смысл считать матрицу вырожденной с точки зрения вычислений на ЭВМ, если её число обусловленности больше чем единица делить на машинное эпсилон, скажем 10^16 для двоичной точности. В таком случае при умножении матрицы на вектор (или при решении СЛАУ) при наличии ошибок округления (например, если входные данные округлены до разрядности ЭВМ) невозможно получить ни одного точного знака в ответе.

В данном случае это усложняет задачу. Я привел пример СЛАУ, уравнения которой находятся на "грани" линейной зависимости. Если возникнет крайний случай, и уравнения действительно станут линенйно зависимыми, то матрица по определению станет вырожденной. Целесообразно ли в этом случае считать число обусловленности чтобы это показать?

Думаю это слишком жесткий подход, считать что погрешности у всех компонент равны. Можно, в тот момент, когда выбран ведущий, посмотреть какое максимальное значение было в этом месте, в процессе вычислений, и его помножить на DBL_EPSILON, если получится больше текущего то значит полная лажа. Так можно контролировать относительную погрешность, а не единую абсолюту для всех координат.