Диффуравнение

[vlad_light]

Нужно решить уравнение

$$y'(x)-ay(x)=f(x)$$

$$y\in C^1(a,b), f\in C(a,b), a\in\mathbb R$$

Для этого перепишем его в виде

$$((D-aI)y)(x)=f(x)$$

тогда

$$y(x)=\operatorname{Ker}(D-aI)+((D-aI)^{-1}f)(x)$$

В то же время мы знаем, что

$$y(x)=ce^{ax}+e^{ax}\int _1^x e^{-a\tau}f(\tau)d\tau ,c\in\mathbb R$$

С другой стороны

$$(D-aI)^{-1}=R_a(D)=-\frac 1a(I-\frac 1aD)^{-1}=-\frac 1a\sum\limits _n (\frac 1aD)^n$$

Следует ли из этого, что

$$\forall f\in C(a,b) : e^{ax}\int _1^x e^{-a\tau}f(\tau)d\tau = ((-\frac 1a\sum\limits _n (\frac 1aD)^n)f)(x)$$

т.е., что резольвенту можно представить в таком виде?

[Otta]

vlad_light в сообщении #781465 писал(а):

Следует ли из этого, что

Извините, совсем не вчитывалась. Но правильно ли я понимаю, что Вы собираетесь дифференцировать непрерывную функцию сколь угодно много раз?

[vlad_light]

Точно
А если там гладкости добавить? Или заменить непрерывные функции на интегрируемые?

[Otta]

vlad_light в сообщении #781510 писал(а):

А если там гладкости добавить?

Нинана.
Вы, во-первых к буковкам нежнее, а то у Вас куда ни плюнь - в $a$ попадешь, во-вторых, к области определения решения: интеграл вот от 1 докуда-то, а причем здесь та единица, может, она и ни при чем вовсе, а в-третьих, чем Вам не нравится интегральное представление резольвенты?

[ewert]

vlad_light в сообщении #781465 писал(а):

тогда

$$y(x)=\operatorname{Ker}(D-aI)+((D-aI)^{-1}f)(x)$$

Это просто зверство какое-то -- ядро и обратный в одном флаконе. Тем более если

vlad_light в сообщении #781465 писал(а):

В то же время мы знаем, что

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

ewert в сообщении #781551 писал(а):

Это просто зверство какое-то -- ядро и обратный в одном флаконе.

Какая прелесть. ))) Слона-то я и не приметил.

[Утундрий]

Любопытная задача. Итак, нам нужно решить уравнение при условии, что мы знаем его решение. Я правильно понимаю?