Предел

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Подскажите, пожалуйста, почему ответ получается отрицательный

$$\lim\limits_{x\to1}\frac{\sin\pi x}{\sin2\pi x}$$

У меня получается $1/2$. Но в ответе $-1/2$.
Я делаю так: заменяю переменную $x$ на переменную $x=t+1$. И получается

$$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin\pi t}{\sin2\pi t}$$

Далее по первому замечательному пределу.
Можно также расписать $\sin2\pi x$, как $2\sin\pi x\cos\pi x$ и сократить $\sin\pi x$ и получится $1/2.$

[gris]

$\sin(a+\pi)\ne \sin (a)$

[ИСН]

RikkiTan1 в сообщении #780917 писал(а):

Можно также расписать sin2$\pi x$, как $2\sin\pi x\cos\pi x$ и сократить $\sin\pi x$ и получится

C этого места поподробнее, пожалуйста. Что сперва получится?

[Limit79]

RikkiTan1 в сообщении #780917 писал(а):

заменяю переменную x на переменную t=x+1. И получается

$$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin\pi t}{\sin2\pi t}$$

Получается:

$$\lim\limits_{t\to2}\frac{\sin\pi t}{\sin2\pi t}$$

[ewert]

Limit79 в сообщении #780923 писал(а):

Получается:

$$\lim\limits_{t\to2}\frac{\sin\pi t}{\sin2\pi t}$$

Так, конечно, лучше, чем было, но даже и этого не получается.

[Limit79]

ewert
Ну да, я только переменную изменил.

[RikkiTan1]

Ой, насчет замены, тут опечатка. $x-1=t; x=t+1$

gris в сообщении #780920 писал(а):

$\sin(a+\pi)\ne \sin (a)$

То есть нельзя пользоваться формулой приведения, а надо расписывать, как сумму углов?

[ewert]

Limit79 в сообщении #780928 писал(а):

я только переменную изменил.

Нельзя же просто так -- взять и заменить буковку.

-- Вс окт 27, 2013 18:18:39 --

RikkiTan1 в сообщении #780929 писал(а):

То есть нельзя пользоваться формулой приведения, а надо расписывать, как сумма углов?

Пользоваться можно чем угодно, но надо же хоть чем-то, да воспользоваться.

[arseniiv]

RikkiTan1 в сообщении #780929 писал(а):

То есть нельзя пользоваться формулой приведения

Можно, но аккуратно.

$$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin\pi(t+1)}{\sin2\pi(t+1)}=\ldots$$

[RikkiTan1]

arseniiv в сообщении #780931 писал(а):

Можно, но аккуратно.

$$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin\pi(t+1)}{\sin2\pi(t+1)}=\ldots$$

Именно так я и сделал, потом внес $\pi$ в скобки и раскрыл скобки по формуле приведения.
${\sin\pi(t+1)}$ я раскрыл, как ${\sin\pi t}$
а знаменатель, как ${\sin2\pi t}$

[gris]

Да и с сокращением нормально без всяких замен. Но табличные значения синуса и косинуса уж надо знать.

[ewert]

RikkiTan1 в сообщении #780932 писал(а):

и раскрыл скобку по формуле приведения.

Значит, Вы эту формулу не помните. Вспоминайте.

[arseniiv]

RikkiTan1 в сообщении #780932 писал(а):

Именно так я и сделал, потом внес $\pi$ в скобки и раскрыл скобку по формуле приведения.

Т. е. получили

$$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin(\pi t+\pi)}{\sin2(\pi t+\pi)}?$$

И какую же формулу приведения вы использовали для знаменателя?

[gris]

Знаменатель внизу. Вверху числитель.

[arseniiv]

Меня и интересует тот, который внизу.

А чтобы не запоминать (и неправильно вспоминать) формулы приведения, нужно просто представить себе график и его сдвиг вдоль оси абсцисс. График $f(x-a)$ — это график $f(x)$, сдвинутый вправо на $a$.

-- Вс окт 27, 2013 20:31:04 --

RikkiTan1 в сообщении #780932 писал(а):

${\sin\pi(t+1)}$ я раскрыл, как ${\sin\pi t}$
а знаменатель, как ${\sin2\pi t}$

А, т. е. точно в числителе дело, а не в знаменателе. Тогда да.

RikkiTan1 в сообщении #780932 писал(а):

${\sin\pi(t+1)}$ я раскрыл, как ${\sin\pi t}$

Из этого следует, что у синуса период — $\pi$. Странно, да?