2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дифф. ур-е Лагранжа, Клеро или?
Сообщение27.10.2013, 15:25 
Есть такое дифф. уравнение: $$x (y')^2 = e^{\frac{1}{y'}}$$

Оно находится в разделе «Уравнения Лагранжа и Клеро».

Уравнение Лагранжа имеет вид: $y = x \varphi (y') + \psi (y')$

Уравнение Клеро имеет вид: $y = xy'+ \psi (y')$

Исходное уравнение больше похоже на уравнение Лагранжа, но вот $y$ нет :|

Решаю так: $y'=p$

Тогда: $x (p)^2 = e^{\frac{1}{p}}$

Дифференцируя обе части, получаем: $dx p^2 + x \cdot 2pdp = e^{\frac{1}{p}} \codt \left (-\frac{1}{p^2} \right ) dp$

Делим обе части на $p^2dp$: $x' + \frac{2x}{p} = e^{\frac{1}{p}} \codt \left (-\frac{1}{p^4} \right )$

Получили линейное уравнение, его решение: $x = \frac{1}{p^2} \cdot e^{\frac{1}{p}}$

А вот теперь самое интересное: дальше мы должны подставить в исходное уравнение найденную функцию $x(p)$, и, исходя из этого уравнения, найти $y(p)$, но у нас в исходном примере нет $y$ :|

Немного поразмыслив, я взял вот это соотношение: $y'=p$ (которые мы применяли в самом начале), и расписал его вот так: $$y'=p \Rightarrow \frac{dy}{dx} = p \Rightarrow dy = p dx$$

Если $$x = \frac{1}{p^2} \cdot e^{\frac{1}{p}}$$
то
$$dx = - \frac{1}{p^4} \cdot e^{\frac{1}{p}} (2p+1) dp$$
и
$$dy = - \frac{p}{p^4} \cdot e^{\frac{1}{p}} (2p+1) dp$$
Интегрируя, получаем:
$$y =\left ( 1+ \frac{1}{p} \right ) e^{\frac{1}{p}} + C$$

Вот и получили мы решение уравнения в параметрическом виде, а что самое интересное - оно сошлось с ответом.

Интересуют два вопроса:

1) Какого типа это уравнение (Лагранжа, Клеро или )?

2) Почему при решении линейного уравнения, результат у нас получается без константы (точнее говоря, почему мы ее опускаем?): $x = \frac{1}{p^2} \cdot e^{\frac{1}{p}}$ ? (У меня оно изначально с константой было, но я подглядел ответ, и убрал ее :D )

Спасибо!

 
 
 
 Re: Дифф. ур-е Лагранжа, Клеро или?
Сообщение27.10.2013, 15:50 
2)
Limit79 в сообщении #780860 писал(а):
Почему при решении линейного уравнения, результат у нас получается без константы (точнее говоря, почему мы ее опускаем?): $x = \frac{1}{p^2} \cdot e^{\frac{1}{p}}$ ?

Limit79 в сообщении #780860 писал(а):
Тогда: $x (p)^2 = e^{\frac{1}{p}}$

Дифференцируя обе части, получаем: $dx p^2 + x \cdot 2pdp = e^{\frac{1}{p}} \codt \left (-\frac{1}{p^2} \right ) dp$

Делим обе части на $p^2dp$: $x' + \frac{2x}{p} = e^{\frac{1}{p}} \codt \left (-\frac{1}{p^4} \right )$

Получили линейное уравнение, его решение: $x = \frac{1}{p^2} \cdot e^{\frac{1}{p}}$

Сравните, пожалуйста, первую строчку из этой цитаты и последнюю. Думаю, увидите ответ на Ваш вопрос.

 
 
 
 Re: Дифф. ур-е Лагранжа, Клеро или?
Сообщение27.10.2013, 15:56 
Otta
То есть можно было не решать линейное уравнение, а сразу после замены из $x \cdot (p)^2 = e^{\frac{1}{p}}$ выразить $x  = \frac{1}{p^2} \cdot e^{\frac{1}{p}}$ ? :facepalm:

А в других случаях, где в исходном уравнении есть $y$, нужно решить линейное (так как в этом случае так просто выразить икс не получится?)?

 
 
 
 Re: Дифф. ур-е Лагранжа, Клеро или?
Сообщение27.10.2013, 16:12 
Limit79 в сообщении #780882 писал(а):
А в других случаях, где в исходном уравнении есть $y$, нужно решить линейное (так как в этом случае так просто выразить икс не получится?)?

Да, конечно.

Вообще-то уравнением Лагранжа его можно назвать только с очень большой натяжкой. Методы решения те же. Собственно, потому оно и в том разделе. Лучше уж никак не называть. Просто уравнение, неразрешенное отн-но производной.

 
 
 
 Re: Дифф. ур-е Лагранжа, Клеро или?
Сообщение27.10.2013, 16:13 
Otta
Огромное спасибо за помощь!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group