2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Преобразование Фурье функции
Сообщение20.05.2007, 22:20 
Здравствуйте! Возникла маленькая проблема с правомерностью применения теоремы Фубини. Исходная задача такая: необходимо посчитать преобразование Фурье функции $sgn (x)$.
Для этого я применяю обратное преобразование Фурье к обобщенной функции $\mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right)$, которая действует как
$$\left(\mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right), \varphi\right):=v.p. \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x}dx$$

Считаю интеграл
$$
v.p. \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x}e^{i\xi x}d\xi dx = \text{после несложных выкладок} = \ v.p.(-2i)\int_0^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin{\xi x}}{x}\varphi(\xi)\,d\xi dx
$$
Как здесь убедиться в правомерности применения теоремы Фубини для изменения порядков интегрирования? А далее получится табличный интеграл $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin \xi x}{x}\, dx = sgn x\cdot \pi /2$$.
Далее применяю теорему восстановления

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group