Преобразование Фурье функции

[Tuzembobel]

Здравствуйте! Возникла маленькая проблема с правомерностью применения теоремы Фубини. Исходная задача такая: необходимо посчитать преобразование Фурье функции $sgn (x)$.
Для этого я применяю обратное преобразование Фурье к обобщенной функции $\mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right)$, которая действует как

$$\left(\mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right), \varphi\right):=v.p. \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x}dx$$

Считаю интеграл

$$ v.p. \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x}e^{i\xi x}d\xi dx = \text{после несложных выкладок} = \ v.p.(-2i)\int_0^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin{\xi x}}{x}\varphi(\xi)\,d\xi dx $$

Как здесь убедиться в правомерности применения теоремы Фубини для изменения порядков интегрирования? А далее получится табличный интеграл

$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin \xi x}{x}\, dx = sgn x\cdot \pi /2$$

.
Далее применяю теорему восстановления