Элементарный результат для определённого интеграла

[nikov]

Нужны идеи по поводу доказательства этого утверждения:

$$\large\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x\,\left(1-x\right)\,\left(1-\frac{7+3\,\sqrt3-\sqrt{72+42\,\sqrt3}}2\,x\right)}}=\frac\pi{12}\left(3+\sqrt3+\sqrt2\,\sqrt[4]{27}\right).$$

Интеграл в левой части можно выразить через гипергеометрическую функцию, используя формулу DLMF 15.6.1:

$$\frac3{\sqrt[3]2\,\sqrt\pi}\ \Gamma\left(\frac23\right)\Gamma\left(\frac56\right)\cdot{_2F_1}\left(\frac13,\frac23;\ \frac{4}{3};\ \frac{7+3\,\sqrt3-\sqrt{72+42\,\sqrt3}}2 \right).$$

Но потом совершенно непонятно, как из этого получить элементарную правую часть.

[Farest2]

Ещё актуально или уже разобрались?

[Farest2]

ТС куда-то запропал. Выложу решение, вдруг ещё кому-то будет интересно. Само решение представляет собой набор утверждений типа $A=B$. Каждое утверждение легко доказать (например, проверкой, что $A$ и $B$ удовлетворяют одному и тому же дифуру с одинаковыми начальными условиями). Как получить каждое из утверждений --- отдельная история.

Слегка модифицированное интегральное определение гипергеометрической (ГГ) функции:

$$ {}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,x\Bigr) =\frac1{3x^{1/3}}\int_0^x \frac{dt}{t^{2/3}(1-t)^{2/3}}. \eqno(1) $$

Как следствие,

$$ 3x^{1/3}\cdot{}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,x\Bigr) +3(1-x)^{1/3}\cdot{}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,1-x\Bigr) =\frac{\Gamma^2\bigl(\tfrac13\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)}. \eqno(2) $$

Одно из возможных преобразований данной ГГ-функции:

$$ {}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,x\Bigr) =\frac{(1-x+x^2)(1-x)^{1/3}}{1+3x-6x^2+x^3}\cdot {}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,\frac{27x(1-x)(1-x+x^2)^3} {(1+3x-6x^2+x^3)^3}\Bigr). \eqno(3) $$

Пусть теперь

$$ a=\frac{7+3\sqrt{3}-\sqrt{72+42\sqrt{3}}}{2}. $$

Заметим (хе-хе), что

$$ \frac{27a(1-a+a^2)^3}{(1+3a-6a^2+a^3)^3}=1. $$

Как следствие, для $x=a$ соотношение (3) принимает вид

$$ {}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,a\Bigr)=\frac{(1-a)^{1/3}}{3a^{1/3}} \cdot{}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,1-a\Bigr). $$

Тогда из (2) находим требуемую ГГ-функцию:

$$ {}_2F_1\Bigl(\frac13,\frac23;\,\frac43;\,a\Bigr) =\frac{1}{12a^{1/3}}\cdot \frac{\Gamma^2\bigl(\tfrac13\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)}={} $$ $$ {}=\frac{1-a+a^2}{1+3a-6a^2+a^3}\cdot \frac{\Gamma^2\bigl(\tfrac13\bigr)}{4\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)}={} $$ $$ {}=\frac{1+\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{3}+\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{\pi^{3/2}} {2^{2/3}\sqrt{3}\,\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)\Gamma\bigl(\tfrac56\bigr)} $$

и затем исходный интеграл.