Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?

[boriska]

1) $|f(x)|\leqslant g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f^2(x)\leqslant g^2(x)\\ g(x)\geqslant 0\\ \end{matrix}\right.$

2) $|f(x)|\ge g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f^2(x)\geqslant g^2(x)\\ g(x)\leqslant 0\\ \end{array}\right.$

[gefest_md]

По-моему в пункте 2 не нужно $g(x)\leqslant 0.$

[iifat]

Нужно. Иначе контрпример $|3|>-5$

[mihailm]

Сойдет, некий нюанс в 2), там объединение не дизъюнктивное, иногда может помешать, например, в параметрах; на полпроцента правильнее написать строго меньше в нижнем неравенстве

[boriska]

mihailm в сообщении #780526 писал(а):

Сойдет, некий нюанс в 2), там объединение не дизъюнктивное, иногда может помешать, например, в параметрах; на полпроцента правильнее написать строго меньше в нижнем неравенстве

Спасибо! Еще 2 случая добавлю! Верно ли будет?

1) $|f(x)|\leqslant g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f^2(x)\leqslant g^2(x)\\ g(x)\geqslant 0\\ \end{matrix}\right.$

2) $|f(x)|\geqslant g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f^2(x)\geqslant g^2(x)\\ g(x)< 0\\ \end{array}\right.$

3) $|f(x)|<g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f^2(x)< g^2(x)\\ g(x)> 0\\ \end{matrix}\right.$

4) $|f(x)|> g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f^2(x)> g^2(x)\\ g(x)< 0\\ \end{array}\right.$

[мат-ламер]

iifat в сообщении #780525 писал(а):

Нужно. Иначе контрпример $|3|>-5$

А как насчёт контрпримера $|5|>3$ ?

[provincialka]

мат-ламер в сообщении #780552 писал(а):

iifat в сообщении #780525 писал(а):

Нужно. Иначе контрпример $|3|>-5$

А как насчёт контрпримера $|5|>3$ ?

Там же не система неравенств, а совокупность: скобочка слева - квадратная.

[mihailm]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #780526 писал(а):

... не дизъюнктивное...

Дизъюнктное

[boriska]

Видимо, последний вариант -- верный! Спасибо.

[boriska]

А как вот тут расщепить? Можно так?

$|f(x)|\leqslant |g(x)| \Leftrightarrow f^2(x)\leqslant g^2(x)$

[arseniiv]

Да. Возведение в квадрат неотрицательных чисел — монотонная функция.