Скопились вопросы по пределам

[Ubermensch]

Есть много вопросов по нюансам решения пределов. Хочу разобраться пока с самыми простыми.
1) если доказываем, что $x_n+a<\varepsilon$, то выражение $x_n+a$ мы можем увеличивать, отбрасывая(упрощая тем самым) мешающее нам найти $N_{\varepsilopn$}? А если будем доказывать, что $\geqslant\varepsilon$, то можем уменьшать?
2)Когда находим $N_\varepsilon=[x]$, то иногда прибавляют 1, то есть $N_\varepsilon=[x]+1$, а иногда не прибавляют. Когда надо прибавлять, а когда нет?
3)Нужно доказать по определению, что последовательность имеет предел.
$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{7^n+2^n}{3\cdot2^n}=\infty$
По определению, это $|x_n|>A$, где $A$ - любое число?
$N_A=[\log_{\frac{7}{2}}{(3\cdot A-1)}]$ ? Это и есть доказательство существования предела $\infty$?
4)Когда доказываем по критерию Коши $|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon$, то после преобразования левой части в числителе и знаменателе появляются $n$ и $p$. Как мы должны действовать дальше, чтобы найти $N_\varepsilon$? Отбросить всё с $p$ или принять $p=n$?
5)Когда мы ищем предел последовательности, где, скажем, фигурирует $\sin$, то мы вправе заменять его 1? При $x\to \infty$.
6) Например нам нужно найти предел последовательности $n\to \infty$ $\frac{n^3+5^n}{n!+5}$ или $\frac{2n^2+3n^10+5}{2^n+3^n+4^n}$ то мы вправе сразу написать $0$, потому что при $n\to \infty$ имеем $n!>a^n>n^\alpha$?
7) Правильно ли я решил такую задачу:
Найти предел последовательности $x_1=0,5$, $x_{n+1}=\frac{x_n}{2+x_n}$
$\frac{x_n}{x_{n+1}}=2+x_n$
Пусть $a$ - предел последовательности $x_n$, тогда имеем:
$x_n=(2+x_n)\cdot x_{n+1}$
$a=(2+a)a$, отсюда $a_1=0, a_2=-1$, значит предел равен $0$.
Нужно ли здесь еще применять индукцию, или такого решения достаточно?
8) При каком значении параметра $t$ последовательность $(2t+3)^n$ имеет предел. Как вообще такое решать?
9) Как доказать, что последовательность $x_n=(-1)^n \cdot10-2$ расходится.
Достаточно ли указать, что при $n=2k: x_{n}=8, n=2k-1: x_n=-12$ ?

[iifat]

Такое чувство, что вы прям таки никак не хотите понять это достаточно простое определение. Для любой окрестности предела вся последовательность кроме конечного числа членов лежит в оной окрестности.
1. Мы не доказываем, что

Ubermensch в сообщении #780501 писал(а):

$x_n+a<\varepsilon$

Мы доказываем, что вся последовательность кроме конечного числа членов лежит в оной окрестности! Мы не

Ubermensch в сообщении #780501 писал(а):

можем увеличивать, отбрасывая(упрощая тем самым) мешающее нам найти $N_\varepsilopn$

Мы доказываем, что вся последовательность кроме конечного числа членов лежит в оной окрестности!Именно это надо понять, а не заучивать магические приёмы. Это не магия, а математика!

(а я говорил, говорил!)

Вот, кстати, не зря я, оказывается, говорил в соседней теме, что надо честно решить квадратное уравнение и не выпендриваться. Пока человек не понял предела, все эти приёмы для облегчения доказательств — зло!

6)Мы — вправе. Вы — не раньше чем поймёте, что вот этого

Ubermensch в сообщении #780501 писал(а):

$n!>a^n>n^\alpha$

совершенно недостаточно.
7) Нет, не правильно. Доказано, что если предел существует, он будет 0 или -1. Теперь надо брать каждое из этих чисел и проверять по определению.
8) Ну, как. Например, подставьте пару-тройку значений $t$ и посмотрите, что получится.
9) Взять любое число. Доказать, что можно взять такую малую окрестность, что вне её лежит бесконечное число членов последовательности. И нет, указанного вами совершенно недостаточно.

[Urnwestek]

1) $A<B \leftarrow A<C, C<B$ частные случаи этого: $C=A+\operatorname{const}$ или $C=B-\operatorname{const}$, то есть, если мы увеличим левую часть неравенства или уменьшим правую, мы "усилим" утверждение и если мы докажем "усиленное" неравенство, то исходное тоже будет верно. Но не всегда, когда исходное верно, "усиленное" тоже верно.
2)Если подойдёт вариант $N_{\eps} = [x]$ то обязательно подойдёт и $N_{\eps} = [x]+1$. Смотрите, допустим вам надо подобрать натуральное число, которое больше 3.1415926535..., 4 же подойдёт? А 4 это сколько? Это [3.1415926...]+1. Тобишь можно писать в таких ситуациях $n \geq [x]+1$ или $n > [x]$ и ошибки не будет.
3)Да. Только не "доказательство существования" а наоборот, доказательство того, что предела не существует и последовательность бесконечно большая.
4)Нет, так действовать нельзя, утверждение мы должны доказывать для любых $n$ и $p$. Чаще всего критерием Коши доказывают наоборот несуществование предела, фиксируя $p$ таким образом, чтобы разность всегда была, например, больше какой-то константы. Например, известное док-во расходимости гармонического ряда:
$x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$
$|x_{2n}-x_{n}| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... +\frac{1}{n+n} > n \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$
5) Нет, это может быть видно как раз, если вы попытаетесь взять предел $\sin(x)$ при $x \to \infty$, разве он единице будет равен? Если синус, например, умножается на какое-то слагаемое в какой-то сумме, то можно приравнять его к единице и взять предел, а потом приравнять его к минус единице и взять предел. Если значения совпадут, то по теореме о миллиционерах сделаем вывод и о самом пределе.
6) Ну, вообще говоря вправе (а неравенство при $n\to \infty$ имеем $n!>a^n>n^\alpha$ доказывать умеете?). И это даже можно быстро проделать формально. Достаточно поделить числитель и знаменатель на самое быстрорастущее слагаемое и у вас останется единица (то самое быстрорастущее слагаемое) и суммы бесконечно малых последовательностей (поделите, например, в вашем первом примере числитель и знаменатель на $n!$).
7) $x_0 = 2, x_n = x_{n-1}^2$, пусть $A$ — предел последовательности, тогда имеем $A = A^2 \rightarrow$ $A=1$ или $A=0$. (: То есть вправе, но только с дополнительным доказательством того, что предел существует. (Часто в таких штуках используется теорема о возрастающей ограниченной последовательности, с док-вом по индукции).
8)Вспомнить, при каких значениях $q$ последовательность $q^{n}$ имеет предел (:
9)По теореме кого-то там (забыл имя) что если последовательность сходится к $A$, то любая её подпоследовательность сходится так же к $A$. Вы выбрали две подпоследовательности, которые сходятся к разным значениям, тем самым доказав, что последовательность не сходится.

[gefest_md]

3. $A$ - положительное, по определению. И мы должны знать, что $\log_{\frac72}(3A-1)$ имеет смысл. Вдруг $A<\frac13$?

-- Сб окт 26, 2013 21:47:31 --

7) Можно использовать теоремы о вложенных отрезках. Верно, что $[0,\ x_{n+1}]\subset[0,\ x_n].$