Неравнобедренный треугольник

[scwec]

nnosipov, я пока не рассматривал вопрос элементарного доказательства бесконечности рациональных точек без ссылки на теорему Лутц-Нагеля, но в ближайшее время обязательно это посмотрю. Кстати, у точки конечного порядка x-координата тоже целое число. А здесь и $x_3$ не целое.
Посмотрите, если время будет. Элементарное доказательство может оказаться простым.
gris, спасибо. Я бы только уточнил. Рапсодия на тему $\vartheta$-конгруэнтных чисел.

[gris]

Вот на таких примерах убеждаешься, что "Das Glasperlenspiel" не просто фантазия HH.

[scwec]

gris, неужели такое сильное впечатление? Немного неожиданно.
Но ведь Кнехт плохо кончил.

[gris]

В принципе, я же писал, что подозревал что-то такое. Но на самом деле: вдруг из маленького и вполне осязаемого бутончика прямо на глазах распустился огромной цветок. Ну я уж не буду тут упражняться в словоблудии. Скажу честно: действительно впечатление сильное и аналогии те самые. Но я довольно приземлённый человек, так что до Кнехта мне далеко

[scwec]

Касательно бесконечности различных рациональных треугольников без ссылки на теорему Лутц-Нагеля.
Предположим, что треугольников конечное число.
Пусть $i$ наименьшее натуральное такое, что $(a_i,b_i,c_i)=(a_k,b_k,c_k)$, где натуральное $k>i$ и $i>1$.
Для любого натурального $m>1$
$a_m=\dfrac{4Nc_{m-1}}{{a}^2_{m-1}-{b}^2_{m-1}}$,
$b_m=\dfrac{{a}^2_{m-1}-{b}^2_{m-1}}{2c_{m-1}}$,
$c_m=\dfrac{{c}^4_{m-1}+16N^2-16}{2c_{m-1}({a}^2_{m-1}-{b}^2_{m-1})}$
В соответствии с этими формулами
$\dfrac{c_k}{a_k}=\dfrac{{c}^4_{k-1}+16N^2-16}{4N{c}^2_{k-1}}=\dfrac{c_i}{a_i}=\dfrac{{c}^4_{i-1}+16N^2-16}{4N{c}^2_{i-1}}$.
И $\dfrac{{c}^4_{k-1}+16N^2-16}{4N{c}^2_{k-1}}=\dfrac{{c}^4_{i-1}+16N^2-16}{4N{c}^2_{i-1}}$
Это уравнение преобразуется к виду $({c}^2_{k-1}-{c}^2_{i-1})({c}^2_{k-1}{c}^2_{i-1}+16N^2-16)=0$
Поскольку вторая скобка больше нуля, то $c_{i-1}=c_{k-1}$. А поскольку угол $\vartheta$ во всех треугольниках один и тот же и произведение $a_m{b_m}=2N$, то и $a_{i-1}=a_{k-1},b_{i-1}=b_{k-1}$.
Получили проотиворечие с минимальностью $i$.
Остается доказать, что не может быть равенства $(a_1,b_1,c_1)=(a_n,b_n,c_n)$ для некоторого натурального $n$.
Пусть оно выполняется, тогда $\dfrac{c_n}{a_n}=\dfrac{{c}^4_{n-1}+16N^2-16}{8N{c}^2_{n-1}}=\dfrac{c_1}{a_1}=\dfrac{N}{2}$
Отсюда получаем уравнение для определения $c_{n-1}$: ${c}^4_{n-1}-4N^2{c}^2_{n-1}+16N^2-16=0$ и $c_{n-1}=\pm{2}$ или $c_{n-1}=\pm{2}\sqrt{N^2-1}$ второе решение $c_{n-1}$ число иррациональное, а из первого берем положительное $c_{n-1}=2$
Из теоремы косинусов, учитывая, что $a_{n-1}{b_{n-1}}=2N$ имеем $4={a}^2_{n-1}+{b}^2_{n-1}-4$ или ${a}^4_{n-1}-8{a}^2_{n-1}+4N^2=0$, при $N>2$ вешественых корней у этого уравнения нет.
Сл-но, и равенства $(a_1,b_1,c_1)=(a_n,b_n,c_n)$ быть не может, ч.т.д.