Задача с астрофизики

[Fafner]

Добрый день. Слушаю счас один из онлайн-курсов (Dark Matter in Galaxies: The Last Mystery), и по одной из частей (Chapter 2, unit 3) есть задание, которое не могу решить.

$$ I(r)=I_0e^{-\frac{r}{R_D}} - Freeman, 1970. $$

$$I(r)$$

- surface luminosity (поверхностная светимость - такой перевод правлиный?) диска галактики, в зависимости от его радиуса'

$$I_0$$

- так понимаю, surface luminosity всего диска;

$$R_D$$

- lenght scale of the disk (Гугл переводит как "длина масштаба диска").

Задание: In a Freeman disk at which radius

$$x= R_83/R_D$$

one has that

$$R_{83}$$

encloses the 83% of the total light ? (Посчитайте, при каком $x= R_{83}/R_D$, поверхностная светимость составляет 83% от всей светимости диска - правильный ли такой перевод вопроса?)

Как думал решать: Пусть

$$I_0=1$$

, тогда

$$I(r)=0.83$$

. Получается уравнение:

$$0,83=e^{-x},$$

решение которого дает

$$e^x=\frac{1}{0,83}=1,2; x=ln(1.2), x=0,2.$$

Но - такого ответа даже нету среди вариантов. Там задавали схожие вопросі и есть пояснение, от других слушателей, но они мало помогли. (могу скопировать, если надо). Чего то не понимаю, наверно что то связаное с

$$R_D.$$

Подскажите пожалуста, что тут не так, как правильно можна решить задачу?
И как можна выровнять формулы так, что б они были внутри текста, не размещались по центру отдельною строкою?

[Munin]

Отдельные буквы надо заключать не в $$ $$, а в $ $ - тогда они становятся формулами "в строчке".

-- 26.10.2013 17:17:33 --

Fafner в сообщении #780331 писал(а):

length scale of the disk (Гугл переводит как "длина масштаба диска").

Характерная длина, или масштаб длины. На самом деле, характерное расстояние, на котором светимость падает в $e$ раз. Вот точного астрономического термина не помню (а он был...). В книгах, лекциях и статьях по галактикам наверняка есть. Например, Астро-архиве ПРАО РЦ РАН (google this). (Рекомендую там серию лекций Засова, например.)

Fafner в сообщении #780331 писал(а):

Посчитайте, при каком $x= R_{83}/R_D$, поверхностная светимость составляет 83% от всей светимости диска - правильный ли такой перевод вопроса?

Здесь не поверхностная светимость, а интегральная - сумма от поверхностной, или интеграл по поверхности.

Fafner в сообщении #780331 писал(а):

Как думал решать: Пусть $I_0=1$, тогда $I(r)=0.83$

Нет. Вы должны взять $\int I(r)\,dS.$ И в одном случае у вас будет $\int_0^\infty,$ а в другом - $\int_0^{R_{83\%}}.$ И тогда, соотношение между этими интегралами будет 0,83.

Думаю, теперь решить задачу не составит проблемы.

[Fafner]

Munin в сообщении #780454 писал(а):

Отдельные буквы надо заключать не в $$ $$, а в $ $ - тогда они становятся формулами "в строчке".
спасибо.
-- 26.10.2013 17:17:33 --

Fafner в сообщении #780331 писал(а):

length scale of the disk (Гугл переводит как "длина масштаба диска").

Характерная длина, или масштаб длины. На самом деле, характерное расстояние, на котором светимость падает в $e$ раз. Вот точного астрономического термина не помню (а он был...). В книгах, лекциях и статьях по галактикам наверняка есть. Например, Астро-архиве ПРАО РЦ РАН (google this). (Рекомендую там серию лекций Засова, например.)
спасибо.

Fafner в сообщении #780331 писал(а):

Посчитайте, при каком $x= R_{83}/R_D$, поверхностная светимость составляет 83% от всей светимости диска - правильный ли такой перевод вопроса?

Здесь не поверхностная светимость, а интегральная - сумма от поверхностной, или интеграл по поверхности.

Fafner в сообщении #780331 писал(а):

Как думал решать: Пусть $I_0=1$, тогда $I(r)=0.83$

Нет. Вы должны взять $\int I(r)\,dS.$ И в одном случае у вас будет $\int_0^\infty,$ а в другом - $\int_0^{R_{83\%}}.$ И тогда, соотношение между этими интегралами будет 0,83.

Думаю, теперь решить задачу не составит проблемы.

Спасибо за пояснение и помощь. Сделал следуйщее счас.
Посчитал $\int_0^\infty I(r)dS$, $\int_0^{R_{83\%}} I(r)dS$, где $dS=2\pi rdr$, решил уравнение которое получилось:
$\frac{\int_0^{R_{83\%}} I(r)dS}{\int_0^\infty I(r)dS $}=0,83$;

$\frac {x+1}{e^x}=0,17$, где $x=\frac{R_{83}}{R_D}$.

$x=3,2$. Такой ответ есть в варианте ответа, но показывается как неверный... :(

[Munin]

Не знаю, почему неверный...

[Fafner]

Munin в сообщении #780562 писал(а):

Не знаю, почему неверный...

Возможно, это баг с опросом. Так как есть другие другие люди, у которых тоже получается 3.2 - но выдает не верный результат.
Например,
I'm a bit confused about the question in the quiz on this unit (the distribution of light in spirals, an introduction).
We were given the intensity function I(r) for spirals, and we were asked to calculate the radius at which 83% of total light is emitted.
I interpret "total light" as the surface integral of the intensity over the disk (assuming that we can see only one face of the disk), which should simply be the integral of I(r) times the circle surface element 2*pi*r . If we evaluate this integral at a given radius (i.e., if we calculate the "total light" inside that radius) and we divide it by the total light (i.e. the "total light" for the radius going to infinity), we obtain the transcendent equation for "x":
1-exp(-x)*(1+x) = 0.83
Which can be solved numerically, yelding x=3.2

Так же, есть некоторый коментарий-подсказка, от этого ж форумчанина, как он решал задачу, но система не принимает правильный ответ:
R_D is a "scale length" that has to do with the variation of the intensity (of light) emitted by the galaxy, but it doesn't represent its geometrical radius or diameter. It is defined as the radius at which the intensity equals 1/e times the intensity of the bulge (the central intensity). (e is Napier's constant, e=2.71828...)
You can think of R_D as an experimental value that you have to measure from observations: you first aim your telescope to the center of the galaxy and you write down the measure of the intensity of the light that you receive. Then you move your telescope away from the center, writing down the intensities that you measure for increasing distance from the center. At some point, say at a distance of 1 Kpc from the nucleus of the galaxy, you will find that the intensity that you measure equals the intensity of the center divided by e. Then that distance is your R_D (in this case it would be 1 Kpc). It is certainly less that the visible radius, because you would certainly define the visible radius ad the radius at which the intensity goes to zero, not to 1/e times the central intensity, right?
I hope it was of some help.


Пока не буду идти дальше по курсу, надо тут разобратся.

[Fafner]

Munin в сообщении #780562 писал(а):

Не знаю, почему неверный...

Возможно, это баг с опросом. Так как есть другие другие люди, у которых тоже получается 3.2 - но выдает не верный результат.
Например,
I'm a bit confused about the question in the quiz on this unit (the distribution of light in spirals, an introduction).
We were given the intensity function I(r) for spirals, and we were asked to calculate the radius at which 83% of total light is emitted.
I interpret "total light" as the surface integral of the intensity over the disk (assuming that we can see only one face of the disk), which should simply be the integral of I(r) times the circle surface element 2*pi*r . If we evaluate this integral at a given radius (i.e., if we calculate the "total light" inside that radius) and we divide it by the total light (i.e. the "total light" for the radius going to infinity), we obtain the transcendent equation for "x":
1-exp(-x)*(1+x) = 0.83
Which can be solved numerically, yelding x=3.2

Так же, есть некоторый коментарий-подсказка, от этого ж форумчанина, как он решал задачу, но система не принимает правильный ответ:
R_D is a "scale length" that has to do with the variation of the intensity (of light) emitted by the galaxy, but it doesn't represent its geometrical radius or diameter. It is defined as the radius at which the intensity equals 1/e times the intensity of the bulge (the central intensity). (e is Napier's constant, e=2.71828...)
You can think of R_D as an experimental value that you have to measure from observations: you first aim your telescope to the center of the galaxy and you write down the measure of the intensity of the light that you receive. Then you move your telescope away from the center, writing down the intensities that you measure for increasing distance from the center. At some point, say at a distance of 1 Kpc from the nucleus of the galaxy, you will find that the intensity that you measure equals the intensity of the center divided by e. Then that distance is your R_D (in this case it would be 1 Kpc). It is certainly less that the visible radius, because you would certainly define the visible radius ad the radius at which the intensity goes to zero, not to 1/e times the central intensity, right?
I hope it was of some help.


Пока не буду идти дальше по курсу, надо тут разобратся.

[Munin]

Fafner в сообщении #780574 писал(а):

Пока не буду идти дальше по курсу

Не можете или не хотите?

Если остальные задачи у вас окей, идите дальше. Не задерживайтесь на ерунде.

[Fafner]

Munin в сообщении #780599 писал(а):

Fafner в сообщении #780574 писал(а):

Пока не буду идти дальше по курсу

Не можете или не хотите?

Если остальные задачи у вас окей, идите дальше. Не задерживайтесь на ерунде.

Там только 1 задача была :( Хочу конечно идти дальше. А это действительно ерунда? Просто у меня всегда возникают трудности с решением задач, и постоянно думаю что наверно не достаточно хорошо понимаю теорию, или ставлю не те вопросы при решении задач (и соответстенно - получаю от задачи не те ответы на путь решения, или на собственно решение).

Видео можна смотреть не зависимо от опросов, просто если не пройден опрос - обозначается юнит как "не законченый". За Астро-архив, спасибо большое, зашол впервые на сайт - посмотрел. Добавил в закладки, обезательно начну смотреть видео Засова на следуйщей неделе, может быть понравится. Почему этот курс начал слушать - потому что и тема интересна, и одновременно можна улучшить английский, который очень сильно хромает.

[Munin]

Fafner в сообщении #780733 писал(а):

А это действительно ерунда?

Судя по формулам, и по тому, что у кого-то ещё получился такой же ответ, как у вас, - я бы сказал, что да.

Я бы проверил, глядя на сам курс и на контекст к задаче, но не могу (он требует логина).

Fafner в сообщении #780733 писал(а):

Просто у меня всегда возникают трудности с решением задач, и постоянно думаю что наверно не достаточно хорошо понимаю теорию, или ставлю не те вопросы при решении задач (и соответстенно - получаю от задачи не те ответы на путь решения, или на собственно решение).

Это нормально. Задачи, которые вызывают трудности - это задачи правильного уровня. Главное, чтобы трудности были разрешимы. Тогда такие задачи будут приносить вам максимальную пользу. Если задача не решается вообще никак - она слишком сложна. Если решается, не вызывая трудностей, - она слишком легка. Такие можно решать только для тренировки навыков.

Fafner в сообщении #780574 писал(а):

Так же, есть некоторый коментарий-подсказка, от этого ж форумчанина, как он решал задачу, но система не принимает правильный ответ:

Цитата:

R_D is a "scale length" that has to do with the variation of the intensity (of light) emitted by the galaxy, but it doesn't represent its geometrical radius or diameter. It is defined as the radius at which the intensity equals 1/e times the intensity of the bulge (the central intensity). (e is Napier's constant, e=2.71828...)
You can think of R_D as an experimental value that you have to measure from observations: you first aim your telescope to the center of the galaxy and you write down the measure of the intensity of the light that you receive. Then you move your telescope away from the center, writing down the intensities that you measure for increasing distance from the center. At some point, say at a distance of 1 Kpc from the nucleus of the galaxy, you will find that the intensity that you measure equals the intensity of the center divided by e. Then that distance is your R_D (in this case it would be 1 Kpc). It is certainly less that the visible radius, because you would certainly define the visible radius ad the radius at which the intensity goes to zero, not to 1/e times the central intensity, right?
I hope it was of some help.

В общем, форумчанин правильно всё изложил, с парой нюансов:

1. Галактика обычно вся целиком помещается в поле зрения телескопа, с большим запасом :-) Поэтому вовсе не надо перенаправлять телескоп на центр и на периферию галактики. Вместо этого, на изображении, создаваемом телескопом (на фотопластинке или на CCD-матрице (аналогичной тем, что в обычных цифровых фотоаппаратах)), измеряют засвеченность, создаваемую изображением галактики, в разных точках изображения. Это степень почернения для фотопластинки, или электрический заряд/ток для CCD, и т. п. Разумеется, при этом галактика не должна быть "засвечена", то есть, её светимость не должна превосходить предельную (это может произойти при слишком большой экспозиции).

2. На практике, мы не знаем расстояния до галактики слишком точно (типичны разбросы до 10 %-20 %), поэтому предпочтительно расстояния в галактике не мерять в кпк (килопарсеках), а мерять их в угловых единицах - угловых секундах (arcsec, as), миллисекундах (mas). Эти величины известны по изображению галактики весьма точно. Вероятно, в задаче величины $R_D$ и $R_{83\%}$ подразумеваются выраженными именно в угловых единицах. Впрочем, для рассуждения о физических свойствах галактики, наоборот, удобны кпк, потому что галактики на разных расстояниях могут иметь разные угловые размеры, но при этом одинаковые физические.

[Fafner]

В Unit 3 ( https://iversity.org/my/courses/dark-ma ... units/2849), есть следуйщее задание:

$R_D$ in spirals corresponds to $\frac{R_e}{x}$, as defined in ellipticals, which is the value of $x$ ?

В видео, есть формула, которой наверно нужно воспользоваться:
$I(R)=\int_{-\infty}^{+\infty} j(r)dz=2\int_R^{+\infty}\frac{j(r)rdr}{\sqrt r^2-R^2}, \rho_{sph}=(\frac{M}{L})_* j(r). $

Этот вопрос вобще ставит в тупик - не получается понять, то имеется ввиду (что хотят узнать), как и что означает дана формула (откуда $dz, R, r, \rho_{sph}$, почему такие границі интегрирования..

[Munin]

Видимо, здесь речь идёт о том, что $I$ - это поверхностная светимость (светимость элемента плоскости галактики будет $I\,dx\,dy$), а $j$ - это объёмная светимость (светимость элемента объёма галактики будет $j\,dx\,dy\,dz$). Для плоских галактик (спиральных и неправильных) физическими причинами обусловлена непосредственно $I(R)$ (где $R$ - расстояние от центра в плоскости галактики, или координата в цилиндрических координатах). Для эллиптических галактик, занимающих неплоский объём, физическими причинами обусловлена $j(r)$ (где $r$ - расстояние от центра галактики в пространстве, или координата в сферических координатах), а чтобы получить $I(R),$ описывающую внешний вид галактики, надо проинтегрировать $j(r)$ по координате $z$ (подразумевается, что направленной по лучу зрения). Разумеется, здесь пренебрегают поглощением в пыли, но оно, видимо, действительно мало (пыль играет большую роль только при наблюдении плоских галактик "с ребра").

Что такое $\rho_\mathrm{sph}$ - не знаю.