Доказательство "аксиомы Дедекинда"

[wovas]

Подскажите пожалуйста, или приведите доказательство вышеупомянутой аксиомы.

[photon]

А я почему-то думал, что аксиомы принимают без доказательств

[wovas]

Здесь не тот случай, доказать фактически надо утверждение: "множество является бесконечным, если и только если оно имеет собственное подмножество, в которое взаимно однозначно отображается данное множество".

[Brukvalub]

wovas писал(а):

доказать фактически надо утверждение: "множество является бесконечным, если и только если оно имеет собственное подмножество, в которое взаимно однозначно отображается данное множество".

Достаточность очевидна, а для д-ва необходимости выделите счетное подмножество и отобразите его в себя со сдвигом, а оставшуюся часть отобразите тождественно.

[Someone]

Это легко доказывается с помощью аксиомы выбора и не доказывается вообще без оной. Без аксиомы выбора возможны множества, которые не равномощны конечным множествам (= натуральным числам), но не содержат счётных подмножеств.