Мат ожидание случайной величины 1/X

[R_e_n]

Проверьте, пожалуйста, мои рассуждения:

Пусть $X$ и $Y$ – длины, соответственно, наименьшего и наибольшего из интервалов, на которые разбивает $[0;1]$ взятая наудачу точка (с равномерным распределением). Найти $E(Y/X)$.

Решение.
$E(\frac Y X)=E(\frac {(1-X)} X)=E(\frac 1 X)-1$

Обозначим $Z=\frac 1 X$, найдем ее функцию распределения:

$P(Z \leqslant x)=P(\frac 1 X \leqslant x)=P(\frac 1 x \leqslant X)=1-P(X<\frac 1 x)=$

$=1-\int_0^{\frac 1 x}2dz=1- \frac 2 x $ ,при $x \in [2,+\infty]$

$P(Z \leqslant x)=0$,при $x<2$

$E(Z)=\int_{2 \leqslant x}x dP(Z \leqslant x) =\int_{2 \leqslant x} \frac 2 x dx = 2\ln(x)|_2^{+\infty}=+\infty$

Что то мне подсказывает, что такого быть не может.

-- 25.10.2013, 16:38 --

Тут можно привести еще такое рассуждение:
математическое ожидание случайной величины распределенной на отрезке $[0;1]$ равномерно равно $0.5$
Т е отрезок поделится пополам, а следовательно $E(\frac Y X) = 1$

[ИСН]

Проделайте численный эксперимент. Не знаю, что для Вас убедительнее. В теории вероятностей полно таких вещей, которых не может быть. Откуда там вообще взялась 2, например?

-- менее минуты назад --

А в рассуждениях советую всегда представлять, что это про деньги, тогда включается здравый смысл.
Если отрезочки по 0.5, то отношение 1, спору нет. Но они же иногда (собственно, почти всегда) не точно по 0.5. Иногда один немножко больше, а другой немножко меньше. А иногда наоборот. Но в обоих случаях отношение большего к меньшему будет больше 1. Всегда больше 1! А когда же меньше? Никогда. Так как же оно может в среднем быть 1?

[iifat]

Либо попробуйте упростить задачу.
Например, так.
У нас есть кучка из 10 шариков по 100 грамм (общим весом килограмм). Мы берём оттуда случайное количество шариков (от 1 до 9 с равной вероятностью). Рассмотрим случайную величину: отношение веса большей кучки к меньшей. Что получится? А что получится, если взять 100 одинаковых шариков общим весом килограмм?

-- 26.10.2013, 00:13 --

R_e_n в сообщении #780045 писал(а):

Тут можно привести еще такое рассуждение:

Кстати: заметьте, единица — минимальное значение рассматриваемой случайной величины (отношение длины большего отрезка к меньшему). Этого уже достаточно, чтобы матожидание не равнялось единице.

[R_e_n]

Спасибо, вроде разобрался.

ИСН в сообщении #780051 писал(а):

Откуда там вообще взялась 2, например?

Ну раз уж начал позориться, так может вы у меня проверите, как я считаю мат ожидание $EX$?

$EX=\int_0^{\frac 1 2}x \cdot p(x)dx$, где $p(x)$ - плотность $X$. Ну и $p(x)=\frac 1 {\frac 1 2 - 0}=2$

[--mS--]

Распределение у $X$ не является равномерным на $[0,\,\frac12]$ (как и вообще равномерным). Найдите по определению функцию распределения $X$, из неё плотность.

[R_e_n]

--mS-- в сообщении #780080 писал(а):

Распределение у $X$ не является равномерным на $[0,\,\frac12]$ (как и вообще равномерным). Найдите по определению функцию распределения $X$, из неё плотность.

Честно говоря, я не знаю как искать функцию распределения по определению.

$$ P(X \leqslant x)=\left\{ \begin{aligned} 0, при x<0\\ 2x, при x \in [0, \frac 1 2] \\ 1, при x > \frac 1 2 \end{aligned} \right. $$

Разве не так она выглядит?

[gris]

Создаётся впечатление, что Вы во сне увидели своё первоначальное решение и никак не можете в нём разобраться.
Наверное, задача предполагает строгое решение, но мне кажется, что из соображений симметрии следует, что искомое матожидание равно матожиданию функции $Z=\dfrac {1-X}{X}$, где $X$ равномерно распределена на $(0;0.5)$ c плотностью, естественно, $p(x)=2$.
Имеем $EZ=\int\limits^{0.5}_{0} 2\cdot \dfrac{1-x}{x}\;dx=\infty$, что и следовало ожидать, так как прикинув численно, что советовалось, получим кусок гармонического ряда.
Впрочем, уже и боюсь настаивать.

[ewert]

R_e_n в сообщении #780096 писал(а):

Разве не так она выглядит?

Так, но она не нужна. Просто выразите искомую функцию через исходную равномерно распределённую величину и проинтегрируйте полученную функцию по равномерной плотности.

Точнее, для отношения наибольшего к наименьшему можно и не интегрировать -- и так ясно, что выйдет бесконечность. Вот если наоборот для отношения наименьшего к наибольшему -- тогда надо интегрировать.

[--mS--]

Тьфу ты, пропасть, прошу прощения - что-то мне примерещились две точки на отрезке, и я в голове держу минимум из них. Матстат довлеет. Конечно, двойка. И конечно, равномерное. Ещё раз прошу извинить за предыдущий комментарий.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #780116 писал(а):

что-то мне примерещились две точки на отрезке, и я в голове держу минимум из них. Матстат довлеет.

Я матстата толком даже и не знаю, но мне при первом взгляде на задачку тоже почему-то две точки примерещились.