порядковые (трансфинитные) числа

[Таня Тайс]

Χочу понять смысл следующего утверждения: У нас есть система несчетных замкнутых подмножеств множества действительных чисел и нам удалось доказать, что мощность этой системы= мощность континуум= С .
Любое множество (в том числе и множество мощности континуум) можно вполне упорядочить.
"Нумеруем" каждое несчетное замкнутое подмножество с помощью трансфинитных чисел, меньших α, где α -самое маленькое порядковое число с С предшественниками.
Вот тут начинаются мои проблемы. Индексы значит трансфинитные числа меньше заданного α.
Определение порядкового числа- "трансфинит. число это множество ему предшествующих трансфинитных чисел ".
Но разве можно, определяя это понятие, его же использовать? И что значит трансфинит с С предшественниками (С -мощность континуума) ? И зачем мы берем "сaмое маленькое" α с С предшественниками?
Спаcибо за любую подскaзку.

[Someone]

Таня Тайс писал(а):

Определение порядкового числа- "трансфинит. число это множество ему предшествующих трансфинитных чисел ".

Где Вы такое определение нашли? Посмотрите определение порядкового числа в смысле фон Неймана (= трансфинитного числа) в книге

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.
Глава 7, § 9.

Определение. Множество $\alpha$ называется порядковым числом в смысле фон Неймана, если оно обладает следующими свойствами:
1. каждый его элемент является множеством (это условие выполняется автоматически, если в рассматриваемой теории множеств нет никаких объектов, кроме множеств);
2. если $\beta\in\alpha$, то $\beta\subset\alpha$;
3. если $\beta,\gamma\in\alpha$, то либо $\beta=\gamma$, либо $\beta\in\gamma$, либо $\gamma\in\beta$;
4. если $\varnothing\neq\beta\subset\alpha$, то существует такое множество $\gamma$, что $\gamma\in\beta$ и $\gamma\cap\beta=\varnothing$ (это условие выполняется автоматически, если в рассматриваемой теории множеств справедлива аксиома регулярности).

Там доказываются также всякие свойства трансфинитных чисел. В частности, из этих свойств следует, что для порядковых чисел в смысле фон Неймана неравенство $\beta<\alpha$, определяемое как $\beta\subset\alpha$ (и $\beta\neq\alpha$, если употребление символа $\subset$ допускает равенство), равносильно включению $\beta\in\alpha$, поэтому $\alpha=\{\beta:\beta<\alpha\}$.

Таня Тайс писал(а):

Но разве можно, определяя это понятие, его же использовать?

В определении фон Неймана такого замкнутого круга нет.

Таня Тайс писал(а):

И что значит трансфинит с С предшественниками (С -мощность континуума) ?

Поскольку трансфинит (= трансфинитные числа) в смысле фон Неймана является множеством всех меньших трансфинитов (то есть, всех его предшественников), то у этого трансфинита есть мощность, которая и является мощностью множества всех предшественников. Трансфинит с $\mathfrac c$ - предшественниками - это как раз и есть трансфинит мощности $\mathfrac c$.

Таня Тайс писал(а):

И зачем мы берем "сaмое маленькое" α с С предшественниками?

Самый маленький трансфинит мощности $\mathfrac c$ существует, поэтому мы можем его "взять". А зачем нам нужно брать самый маленький такой трансфинит, и нужно ли нам брать именно самый маленький - зависит от решаемой задачи.

[Таня Тайс]

Спасибо! Теперь только я понимаю смысл этой схемы:
Если 0 это пустое множество, то ему соответствует трансфинит 0.
Тогда следующий трансфинит будет {0,{0}}-уже два множества, пустое и состоящее из одного элемента... и это конечно 2- ведь существует 2 способа их вполне упорядочить...
Трансфинит множества натуральных чисел w это множество мощности нат. чисел {0,{0},{0,{0}},...}- это и есть самый маленький трансфинит w с предшественниками, которых столько же, сколько натуральных чисел...

Книгу нашла, буду читать.

Не совсем понятно свойство 4. Оно означает, что в любом порядковом числе существуют два "дизъюнктных", "альтернативных" способа упорядочить множество М?

[Dandan]

нет, это означает, что там очепятка Правильно так:

Цитата:

4. если $\varnothing\neq\beta\subset\alpha$, то существует такое множество $\gamma$, что $\gamma\in\alpha$ и $\gamma\cap\beta=\varnothing$

[Someone]

Dandan писал(а):

нет, это означает, что там очепятка :) Правильно так:

Цитата:

4. если $\varnothing\neq\beta\subset\alpha$, то существует такое множество $\gamma$, что $\gamma\in\alpha$ и $\gamma\cap\beta=\varnothing$

Нет там опечатки. В книге, на которую я ссылался, аксиома регулярности считается "очевидно истинной", однако в список аксиом теории множеств не включается. Поэтому для подмножеств трансфинитов она формулируется отдельно: каждое непустое подмножество трансфинита содержит элемент, с этим подмножеством не пересекающийся. Например, подмножество $\beta=\{\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\subset\alpha=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$ (в других обозначениях: $\{1,2\}\subset 3$) содержит элемент $\gamma=\{\varnothing\}\in\beta$ (то есть, $1\in\{1,2\}$), удовлетворяющий условию $\gamma\cap\beta=\varnothing$, то есть, $\{\varnothing\}\cap\{\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}=\varnothing$ (или $1\cap\{1,2\}=\varnothing$).

[Dandan]

да, это я не подумал
Но так как я написал вроде тоже правильно
http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html

[Таня Тайс]

Спасибо за быстрый и компетентный ответ!
Хочу уточнить для уверенности

Someone писал(а):

каждое непустое подмножество трансфинита содержит элемент, с этим подмножеством не пересекающийся.

Т.е. любое множество можно разбить на два и неважно, как мы их вполне упорядочим, вместе это будет вполне упорядоченное исходное множество.

Someone писал(а):

А зачем нам нужно брать самый маленький такой трансфинит, и нужно ли нам брать именно самый маленький - зависит от решаемой задачи

Задача такая- построение множества, неизмеримого по Лебегу (множество Бернштeйна). Для этого мы берем систему замкнутых подмножеств множества действительных чисел- мощность этой системы континуум- и " нумеруем" их с помощью трансфинитов.
Далее выбираем из 1-го мн-ва два первых элемента, из 2-го опять два первых, отличных конечно от уже выбранных.
И так далее... Таким образом из каждого замкнутого подмножества мы выбрали по 2 элемента-1-й и 2-й. Это можно сделать (доказывается отдельно)
Все 1-е элементы и есть множество Бернштeйна- неизмеримо по Лебегу, т.к. все 2-е принадлежат дополнению и получается, то само мн-во Бернштайна и его дополнение пересекают все возможные замкнутые подмножества R.
А значит и само мн-во Берштейна, и его дополнение могут иметь только меру ноль. А это невозможно.

[Brukvalub]

А вот такой http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books ... =20&page=7 общеизвестный пример неизмеримого по Лебегу множества Вас не устроит?

[Таня Тайс]

Я участвую в семинаре и должна рассказать о различных неизмеримых множествах.
Множества, сконструированные про помощи аксиомы выбора- самый простой пример.
Множества Берштейна конструируются при использовании теоремы о том, что любое множество (в том числе и R) можно вполне упорядочить. Эта теорема тoже док-ся при помощи аксиомы выбора.Так что всё об одном. интересная ссылка

мы как раз обсуждаем книгу, кoторая на этой интернет-странице в списке рекомендованной лит. на 1-м месте:
Дж. Окстоби. Мера и категория: Пер. с англ. М.: Мир, 1974.
Но там очень короткие доказательства

[Someone]

Таня Тайс писал(а):

Someone писал(а):

каждое непустое подмножество трансфинита содержит элемент, с этим подмножеством не пересекающийся.

Т.е. любое множество можно разбить на два и неважно, как мы их вполне упорядочим, вместе это будет вполне упорядоченное исходное множество.

Какой-то неожиданный для меня вывод. Это формулировка аксиомы регулярности (другое название - аксиома фундирования). К упорядочению она, вроде бы, никакого явного отношения не имеет. Это просто такое свойство, запрещающее множеству быть собственным элементом, и вообще замкнутые цепочки $x_1\in x_2\in x_3\in\ldots\in x_n\in x_1$ и бесконечные последовательности $x_1\ni x_2\ni x_3\ni\ldots\ni x_n\ni\ldots$. Это нужно для того, чтобы отношение $\in$ на трансфинитном числе $\alpha$ было полным порядком.

Таня Тайс писал(а):

Someone писал(а):

А зачем нам нужно брать самый маленький такой трансфинит, и нужно ли нам брать именно самый маленький - зависит от решаемой задачи

Задача такая ... Далее выбираем из 1-го мн-ва два первых элемента, из 2-го опять два первых, отличных конечно от уже выбранных.
И так далее...

Да, здесь действительно нужно использовать первый трансфинит мощности континуум. Потому что иначе мы можем столкнуться с ситуацией, когда нельзя выбрать два элемента из очередного множества, потому что они к этому моменту уже все взяты на предыдущих шагах.

[Таня Тайс]

Someone писал(а):

нужно использовать первый трансфинит мощности континуум.

Почему нельзя использовать любой другой трансфинит мощности континуум?
По-моему можно, просто мы для определённости берем первый.

И ещё вопрос: Любое конечное множество, если оно упорядоченно, то вполне упорядоченно. Если оно частично упорядоченно, тогда -другое дело. Так ли это?

мы тут с профессором поспорили и я уже ни в чём не уверена

[Someone]

Таня Тайс писал(а):

Почему нельзя использовать любой другой трансфинит мощности континуум?
По-моему можно, просто мы для определённости берем первый.

Нет. Вы ведь на каждом шаге должны выбирать из какого-то множества мощности континуум точки, не выбранные ни на каком из предыдущих шагов. Если предыдущих шагов уже было континуум "штук", то может случиться так, что из очередного множества уже выбраны все точки, и Вы не сможете выбрать очередную пару точек.

Таня Тайс писал(а):

И ещё вопрос: Любое конечное множество, если оно упорядоченно, то вполне упорядоченно. Если оно частично упорядоченно, тогда -другое дело.

мы тут с профессором поспорили и я уже ни в чём не уверена

Может быть, он хотел, чтобы Вы изложили доказательство? В математике споры решаются либо предъявлением примера, либо предъявлением доказательства.