Исследовать на сходимость ряд, в общем члене ln и ln', но...

[chesas]

Добрый вечер.
Подскажите, пожалуйста
Исследовать на сходимость ряд: $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n \ln^2{(3n+1)}}\eqno (1)$
Напрашивается, использование интегрального признака Коши, но...
Возьмём функцию $f(x)=\frac{1}{x \ln^2{(3x+1)}}$, $x{[}2;\infty{)}$. Подынтегральная функция непрерывна на ${[}2;\infty{)}$.
Тогда будем иметь ряд $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n \ln^2{(3n+1)}}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+...$
Рассмотрим несобственный интеграл$\int\limits_2^\infty f(x)dx=\int\limits_2^\infty \frac{dx}{x \ln^2{(3x+1)}}=I$.
1. После проведения замены $t=3x+1\Rightarrow x=\frac{t-1}{3}$
$dt=3dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{3}$
$I=\int\limits_7^\infty \frac{dt}{(t-1) \ln^2{t}}$ не знаю, что дальше...
2. Пробовал интегрировать по частям, тоже не получается...

[SpBTimes]

Ну оцените немного. Например, $\frac{1}{n \ln^2(3n + 1)} \leqslant \frac{1}{n \ln^2(n)}$

[chesas]

Здорово!
И как всегда ооочень просто!
Т.е. вначале доказываем что "Ваш" ряд сходится, а затем используем признак сравнения.
Большое спасибо.