Задача по теме "Обратная матрица"

[angor6]

В учебнике по алгебре и аналитической геометрии М. В. Милованова, Р.И. Тышкевич, А. С. Феденко есть такая задача: "Пусть A - невырожденная целочисленная матрица, т. е. все её элементы целые числа. Доказать, что матрица A^{-1} является целочисленной тогда и только тогда, когда |A^{-1}|=\pm 1".

Желая поупражняться, я придумал следующее доказательство:

"Заметим, что A^{-1}A=E, поэтому |A^{-1}A|=1,~|A^{-1}||A|=1,~|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}.

Пусть A - целочисленная матрица. Тогда |A|\in \mathbb{Z}.

Если при этом A^{-1} - целочисленная матрица, то |A^{-1}|\in \mathbb{Z}. Это может быть только если |A|=|A^{-1}|=\pm 1.

Если же |A^{-1}|=\pm 1, то целочисленность матрицы A^{-1} следует из того, что её элементами являются алгебраические суммы произведений целых чисел - элементов матрицы A, и |A|=\pm 1".

Правильно ли это доказательство?

[nnosipov]

angor6 в сообщении #779579 писал(а):

Правильно ли это доказательство?

Да.

[angor6]

nnosipov
Благодарю Вас!