Система целочисленных матриц

[FFFF]

пусть $P:\mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^m$ - известная матрица.
1.что тогда можно сказать о существовании (и единственности) решения уравнения $PHP=2P$, где $H:\mathbb{Z}^m \to \mathbb{Z}^n$ нужно найти
В случае $m=n$ можно использовать определители. Но интересует общий случай.
2. если теперь рассмотреть два уравнения: $PHP=2P$ и нелинейное $HPH=2H$ - можно ли здесь вообще хоть что-то получить? Спасибо!

[mihiv]

1. Рассмотрим простой случай: $m=n$. Пусть $P^{-1}$ целочисленная матрица (так будет, если, например, $\det P=\pm 1$), тогда существует единственное решение уравнения: $H=2P^{-1}$. Если же $2P^{-1}$ не целочисленная матрица, то решения нет.

[FFFF]

mihiv
спасибо, случай $m=n$, конечно, ясен. Я думаю, не очень просто в общем случае что-то сказать.
А вот упрощение: пусть $HP, \ P$ - известные матрицы (над $\mathbb Z$). Тогда что можно сказать про единственность $H$, т.е. в каких случаях $\exists H_1, H_2: \ H_1 P=H_2 P=HP$, например.

[mihiv]

Вот пример с бесконечным числом решений:

$$P=\left(\begin {array}{ccc}1&0\\0&1\\0&0\end {array}\right ), H=\left (\begin {array}{ccc}2&0&0\\0&2&m\end {array}\right )$$

где $m-$ произвольное целое число.

[FFFF]

mihiv
спасибо ещё раз, хороший и простой пример, то что нужно