Любопытный тройной интеграл

[edd_k]

Здравствуйте!

Спать не дает этот интеграл.

$\iiint\limits_V {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {z^2}} }}dxdydz},\ \ V = \left\{ {{x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 4{R^2},\ {x^2} + {y^2} \leqslant 2Rx,\ y \geqslant 0} \right\}$

${x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 4{R^2}\quad$ - сфера радиуса 2R

${x^2} + {y^2} \leqslant 2Rx\quad \Rightarrow \quad {\left( {x - R} \right)^2} + {y^2} \leqslant {R^2}\quad$ - цилиндр радиуса R, и смещенный по x на R

Цилиндр вырезает из шара некий тубус, y>0 оставляет от него лишь половину:



Обратим внимание на то, что центральная часть поверхности – цилиндр, а сверху и снизу синей/зеленой линий – сфера.

В цилиндрических координатах адский ад. Хоть смещай центр координат в центр тубуса, хоть не смещай. Хотя казалось бы... Но нет.

В сферических подынтегральная функция подсказывает, что надо бы поменять оси OY и OZ местами, чтобы под корнем все красиво сложилось.

------------ Вариант А -------------

Но сначала в лоб:

$\begin{cases} x = \rho \cos \varphi \sin \theta \\ y = \rho \sin \varphi \sin \theta \\ z = \rho \cos \theta \end{cases}$

Сфера:
$\rho \leqslant 2R$

Цилиндр:
$x^2 + y^2 \leqslant 2Rx \\ {\rho ^2}{\sin ^2}\theta \leqslant 2R \cdot \rho \cos \varphi \sin \theta \\ \rho \sin \theta \leqslant 2R \cdot \cos \varphi \\ \rho \leqslant 2R \cdot \frac{{\cos \varphi }}{{\sin \theta }} $

Чудесно, сфера сменяется цилиндром, и наоборот, при
$\cos \varphi = \sin \theta \\ \theta = \frac{\pi }{2} \pm \varphi $

А вот с подынтегральной функцией не чудесно

$\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {z^2}} }}dxdydz = \frac{{\sin \varphi \sin \theta }}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi {{\sin }^2}\theta } }} \cdot {\rho ^2}\sin \theta \cdot d\rho d\varphi d\theta $

Ну и из пределов по $\rho$ добавится еще $\left(\frac{{\cos \varphi }}{{\sin \theta }}\right)^3$ при интегрировании цилиндрической части. А для сферической - не добавится.

------------ Вариант Б -------------

Меняем Y и Z местами:

$\begin{cases} x = \rho \cos \varphi \sin \theta \\ y = \rho \cos \theta \\ z = \rho \sin \varphi \sin \theta \\ \end{cases}$

В подынтегральной функции все сокращается в тарары (ну почти).

Сфера:
$\rho \leqslant 2R$

Цилиндр:
${x^2} + {y^2} \leqslant 2Rx \\ {\rho ^2}{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\theta + {\rho ^2}{\cos ^2}\theta \leqslant 2R \cdot \rho \cos \varphi \sin \theta \\ \rho \left( {{{\cos }^2}\varphi {{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta } \right) \leqslant 2R \cdot \cos \varphi \sin \theta \cr \rho \left( {{{\sin }^2}\theta - {{\sin }^2}\varphi {{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta } \right) \leqslant 2R \cdot \cos \varphi \sin \theta \\ \rho \left( {1 - {{\sin }^2}\varphi {{\sin }^2}\theta } \right) \leqslant 2R \cdot \cos \varphi \sin \theta \\ \rho \leqslant 2R \cdot \frac{{\cos \varphi \sin \theta }}{{1 - {{\sin }^2}\varphi {{\sin }^2}\theta }} \\ $

И как теперь решить уравнение $\cos \varphi \sin \theta = 1 - {\sin ^2}\varphi {\sin ^2}\theta $ ?!


Собственно, то от чего избавились в подынтегральной функции, вылезло в другом месте.

Получается так, что
а) в цилиндрических координатах сфера не в тему;
б) в сферических - цилиндр не в тему...

[torn]

Я не силен в векторном анализе, в качестве предположения: возможно подынтегральное выражение является дивергенцией какого-то вектора (можно-ли вообще восстановить вектор по дивергенции?) и в таком случае перейти к поверхностному интегралу и ... (здесь мысль остановилась).

[mihiv]

Интегрируемая функция нечётна по координате $y$, поэтому интеграл равен 0.

[provincialka]

mihiv в сообщении #779459 писал(а):

Интегрируемая функция нечётна по координате $y$, поэтому интеграл равен 0.

Нет, там берется только "половина", при $y\ge 0$

[edd_k]

torn в сообщении #778749 писал(а):

возможно подынтегральное выражение является дивергенцией какого-то вектора

Нет, исходное задание - взять интеграл и всё тут ))

[Null]

А он вообще сходиться?

[edd_k]

Maple не осиливает ни первым, ни вторым вариантом.

А вы намекаете на окрестность точки (0, 0, 0) или и без этого сумма может расходиться при конечной функции под интегралом?

[torn]

В декартовых координатах по $z$ и $y$ интегрируется нормально, по $x$ получается восемь слагаемых из логарифмов и корней, которые, скорее всего являются эллиптическими интегралами.

[edd_k]

torn в сообщении #779617 писал(а):

В декартовых координатах по $z$ и $y$ интегрируется нормально, по $x$ получается восемь слагаемых из логарифмов и корней, которые, скорее всего являются эллиптическими интегралами.

Да, эллиптики там. В сферических: интеграл по радиусу - берем, следующий эллиптики, последний - Maple говорит "а идите вы все!".

[Otta]

Null в сообщении #779534 писал(а):

А он вообще сходиться?

Сходится.